Κατέρριψαν το μύθο ότι οι γυναίκες δεν έχουν κλίση στα μαθηματικά

Γυναίκες ερευνήτριες στο ΠΚ μιλούν για το Συνέδριο με το ίδιο θέμα

Μύθος αποδεικνύεται ότι οι γυναίκες δεν έχουν κλίση στα μαθηματικά... Τρανταχτό παράδειγμα αποτελεί το τμήμα Εφαρμοσμένων Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Κρήτης, στο οποίο διδάσκουν αρκετές γυναίκες ερευνήτριες. Η σχέση των γυναικών με την έρευνα, και ιδιαίτερα τον τομέα των εφαρμοσμένων μαθηματικών, αποτελεί το αντικείμενο του συνεδρίου που πραγματοποιείται στις εγκαταστάσεις του Ιδρύματος Τεχνολογίας και Έρευνας το διάστημα από 2 ως 5 Μαΐου. Διοργανωτές είναι το τμήμα Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και το Αρχιμήδειο Κέντρο για μοντελοποίηση, ανάλυση και υπολογισμούς.
Στόχος του συνεδρίου είναι να προωθήσει τα εφαρμοσμένα μαθηματικά στην Ελλάδα, γενικότερα, και ιδιαίτερα να δώσει κίνητρα σε νεαρές ερευνήτριες να ασχοληθούν με το συγκεκριμένο τομέα. Τις ημέρες του συνεδρίου, θα έρθουν σε επαφή μεγαλύτερες σε ηλικία και καταξιωμένες στο χώρο τους ερευνήτριες με νέες γυναίκες, οι οποίες κάνουν τα πρώτα τους βήματα στην επιστήμη των εφαρμοσμένων μαθηματικών.

Τα θεμέλια των μαθηματικών

Το γεγονός πως οι ρητορικοί και δικανικοί λόγοι αποτελούν τη βάση πάνω στην οποία πάτησαν τα πρώτα μαθηματικά θεωρήματα, ανέλυσε ο πολύ γνωστός μαθηματικός Α. Δοξιάδης
Η λογική-μαθηματική απόδειξη, η πρώτη και σημαντικότερη συνεισφορά των Ελλήνων στα μαθηματικά, "γεννήθηκε" γύρω στο 430 π.Χ, με απόκλιση το πολύ 20 χρόνων πριν ή μετά από αυτή την χρονολογία. Το σημαντικό αυτό βήμα, που οδήγησε περίπου μετά από περίπου ενάμιση αιώνα στην εμφάνιση της γεωμετρίας του Ευκλείδη με το έργο του "Στοιχεία", συνέπεσε -όχι τυχαία- με άλλες μνημειώδεις εξελίξεις στην πολιτική και την τέχνη εκείνη την εποχή, καθώς η Δημοκρατία "γέννησε" τη Λογική. Ειδικότερα, οι ρητορικοί και δικανικοί λόγοι αποτέλεσαν το πρότυπο με βάση το οποίο δομήθηκαν τα πρώτα μαθηματικά θεωρήματα των αρχαίων Ελλήνων.

Παιδικός εγκέφαλος και μαθηματικά

Του Benedict Carey - The New York Times

Στο μεγαλύτερο τμήμα του περασμένου αιώνα, εκπαιδευτικοί και πολλοί επιστήμονες πίστευαν ότι τα παιδιά δεν μπορούν να μάθουν μαθηματικά, πριν από την ηλικία των πέντε χρόνων, ότι ο εγκέφαλός τους απλώς δεν ήταν έτοιμος.

Ωστόσο, πρόσφατες μελέτες έχουν ανατρέψει εκ βάθρων αυτή την άποψη - αυτή και μια σειρά άλλων απόψεων για τη γεωμετρία, την ανάγνωση, τη γλώσσα και τον αυτοέλεγχο στη σχολική αίθουσα. Τα ευρήματα, κυρίως από τον τομέα της γνωστικής νευροψυχολογίας, βοηθούν να αποσαφηνιστεί, πότε ο νεαρός εγκέφαλος είναι σε θέση να συλλάβει βασικές έννοιες.

Σε μια πρόσφατη μελέτη, για παράδειγμα, οι ερευνητές βρήκαν ότι τα περισσότερα παιδιά προσχολικής ηλικίας μπορούσαν να πραγματοποιήσουν υποτυπώδεις διαιρέσεις, μοιράζοντας γλυκά σε δύο ή τρία ζωάκια-παιχνίδια. Σε μια άλλη, οι επιστήμονες βρήκαν ότι η ικανότητα του εγκεφάλου να συνδέει γραμματικούς συνδυασμούς με ήχους μπορεί να μην έχει αναπτυχθεί εντελώς μέχρι την ηλικία των 11 χρόνων - πολύ αργότερα από ό,τι υποθέτουν πολλοί.

Νέο ρεκόρ στον υπολογισμό του αριθμού «π»

  Ένας Iάπωνας και ένας Aμερικανός –και οι δύο ειδικοί των υπολογιστών- ανακοίνωσαν ότι πέτυχαν νέο παγκόσμιο ρεκόρ στον υπολογισμό του αριθμού «π» με πέντε τρισεκατομμύρια δεκαδικά ψηφία. Εφόσον το επίτευγμά τους επιβεβαιωθεί, το νέο ρεκόρ επισήμως θα διαδεχθεί αυτό που κατείχε ένας Γάλλος μηχανικός λογισμικού με περίπου 2,7 τρισεκατομμύρια δεκαδικά ψηφία. 

Ο νέος υπολογισμός, σύμφωνα με τα ξένα πρακτορεία, έγινε από τον 54χρονο μηχανικό υπολογιστικών συστημάτων Σιγκέρου Κόντο, που είχε αναλάβει το υλικό (hardware), σε συνεργασία με τον Αμερικανό φοιτητή πληροφορικής Αλεξάντερ Γι, που ήταν υπεύθυνος για το λογισμικό (software).

  Οι δύο ερευνητές συνεργάστηκαν επικοινωνώντας με αλλεπάλληλα e-mail μεταξύ Ιαπωνίας και ΗΠΑ.

Χρειάστηκαν τρεις μήνες για να επιτευχθεί το νέο ρεκόρ με την χρήση ενός απλού επιτραπέζιου υπολογιστή, με ισχυρούς επεξεργαστές Intel, ο οποίος ήταν συνδεμένος με 20 εξωτερικούς σκληρούς δίσκους και «έτρεχε» το λειτουργικό σύστημα Windows Server 2008R2.

Ρώσος μαθηματικός “σνομπάρει” ένα εκατομμύριο δολάρια

Την απόφασή του να μην αποδεχθεί το βραβείο Χιλιετίας του Ινστιτούτου Μαθηματικών Clay, το οποίο του απονεμήθηκε τον Μάρτιο και συνοδεύεται από χρηματικό έπαθλο ενός εκατομμυρίου δολαρίων, ανακοίνωσε χθες ο ρώσος μαθηματικός Γκριγκόρι Πέρελμαν.

Όπως αναφέρεται στον ιστότοπο του ινστιτούτου, “ο δρ Πέρελμαν μας δήλωσε ότι αποφάσισε να μη δεχθεί το βραβείο τού ενός εκατομμυρίου δολαρίων. Το φθινόπωρο του 2010 θα ανακοινωθεί ο τρόπος με τον οποίο το ποσό αυτό θα χρησιμοποιηθεί προς όφελος των μαθηματικών”.
Στις αρχές Ιουνίου ο δρ Πέρελμαν δεν παρέστη σε εκδήλωση που πραγματοποιήθηκε στο Παρίσι προς τιμήν του επειδή έλυσε την “Εικασία του Πουανκαρέ”.

Μαθηματική φόρμουλα εξηγεί πώς καταφέρνουμε να κάνουμε ποδήλατο

Οι ερευνητές ελπίζουν ότι η εξίσωσή τους θα βοηθήσει στον καλύτερο σχεδιασμό των μελλοντικών ποδηλάτων, διευκολύνοντας τους κατασκευαστές να προσαρμόσουν τα σχέδια τους έτσι ώστε τα ποδήλατά τους να είναι πιο σταθερά

Το ποδήλατο υποτίθεται ότι είναι εύκολο, όταν βέβαια πια το έχεις μάθει. Το μόνο που έχει να κάνει κανείς, είναι να γυρίζει τα πεντάλ αρκετά γρήγορα για να συνεχίσει να ισορροπεί και να κινείται, αλλιώς θα πέσει.

Μετά από τρία χρόνια επίπονων προσπαθειών, ερευνητές από τρεις χώρες (ΗΠΑ, Βρετανία, Ολλανδία), δημιούργησαν μια πολύπλοκη μαθηματική φόρμουλα που, αν μη τι άλλο, δείχνει ότι αυτό που το σώμα και ο εγκέφαλός ακόμα κι ενός δεκάχρονου παιδιού κάνουν ενστικτωδώς, στην πραγματικότητα είναι τρομερά πολύπλοκο από φυσικο-μαθηματική άποψη.

Οι επιστήμονες από τρία πανεπιστήμια κατέληξαν σε μια εξίσωση-σιδηρόδρομο που περιλαμβάνει 31 αριθμούς και σύμβολα και εννέα παρενθέσεις! Η φόρμουλα λαμβάνει, μεταξύ άλλων, υπόψη της διάφορες παραμέτρους και δυνάμεις, όπως την αδράνεια, τη γυροσκοπική και την κεντρόφυγο δύναμη, τη βαρύτητα, την κλίση του ποδηλάτη, τη ροπή στρέψης (στροφορμή) κ.α.

Πώς επιδρά στη Μαθηματική Παιδεία το σύστημα πρόσβασης στην τριτοβάθμια εκπαίδευση

 ΕΙΣΗΓΗΣΗ

ΣΤΗΝ ΗΜΕΡΙΔΑ ΤΗΣ «ΚΙΝΗΣΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΛΑΓΗ ΣΤΗΝ Ε.Μ.Ε.»

Σάββατο 24/4/2010 (Ιωνίδειος Σχολή, Πειραιάς)

Αγαπητοί συνάδελφοι και συναγωνιστές!

Μπορώ να υποθέσω βάσιμα ότι για όλους εμάς εδώ είναι κοινός τόπος οι παρακάτω διαπιστώσεις που αφορούν τις αρνητικές επιπτώσεις που έχει γενικά η βαθμολογία και οι εξεταστικές διαδικασίες, οι οποίες στηρίζουν το αστικό σχολείο, αλλά και το υπονομεύουν ταυτόχρονα.

1^ον: Η βαθμολογία, αλλά και κάθε διαδικασία κατάταξης-κατηγοριοποίησης και απόρριψης υπονομεύει τόσο την ίδια τη διδακτική διαδικασία, όσο και τη διδασκόμενη γνώση, υποκαθιστώντας παράλληλα τα γνήσια κίνητρα μάθησης με την βαθμοθηρία.

Τα νούφαρα...

Σε μια λίμνη κάποια παράξενα νούφαρα κάθε μέρα διπλασιάζονται. Από την έκτη ημέρα έχει καλυφθεί η μισή λίμνη...  


Διαβάστε εδώ περισσότερα

Η άλγεβρα απογειώνει τη φαντασία

Οταν τα παιδιά διδάσκονται στο σχολείο μαθηματικά, μπορούν να προσεγγίσουν την ομορφιά τους μόνο με αφηρημένο και θεωρητικό τρόπο. Σίγουρα όχι με χρώμα και εικόνες. Η έκθεση «Ιmaginary» έρχεται να ανατρέψει αυτόν τον κανόνα, δίνοντας σε όλους μας τη δυνατότητα να δημιουργήσουμε εικόνες τέχνης με ένα ανέλπιστο εργαλείο: την αλγεβρική γεωμετρία

Oταν οι αδαείς περί τα μαθηματικά ακούνε κάποιον να λέει πόσο όμορφη είναι μια εξίσωση, συνήθως τον κοιτάζουν με δυσπιστία. Τώρα ήρθε η ώρα να αναθεωρήσουν. Σε αυτό θα τους βοηθήσει η έκθεση «Ιmaginary». Δίνοντας μορφή και χρώμα στους αφηρημένους αλγεβρικούς τύπους η πρωτότυπη πρωτοβουλία του γερμανικού μαθηματικού ινστιτούτου Μathematische Forschungsinstitut Οberwolfach φιλοδοξεί να κάνει ακόμη και όσους μισούν τα μαθηματικά να τα αγαπήσουν. Ή τουλάχιστον- και αυτό είναι ίσως πιο σημαντικό- να τα κατανοήσουν.
Λεμόνια και καρδιές
Η εξίσωση x2+z2=y3 (1-y)3 είναι ένα πράσινο λεμόνι, η (x2+9/4y +z21)3-x z3=0- μια ενδιαφέρουσα για τους μαθηματικούς «κορυφή» ή «παραδοξότητα»- είναι μια κατακόκκινη ζουμερή καρδιά. Πώς κάτι τόσο «στεγνό» όσο ένας μαθηματικός τύπος μπορεί να μετατραπεί σε έργο τέχνης; «Η όλη ιδέα ξεκίνησε από το γεγονός ότι τα μαθηματικά είναι πολύ αφηρημένα,κάτι το οποίο πραγματικά συμβαίνει μέσα στο μυαλό μας και απέχει πολύ από τον πραγματικό κόσμο» λέει μιλώντας στο «Βήμα» ο Αντρέας Ματ, διδάκτωρ μαθηματικός και συντονιστής της έκθεσης. «Θελήσαμε να τα κάνουμε πιο “χειροπιαστά” για το ευρύ κοινό και διαλέξαμε αυτή την κάπως διαφορετική προσέγγιση, την καλλιτεχνική οπτικοποίησή τους».

Η βάση αυτής της οπτικοποίησης είναι η αλγεβρική γεωμετρία, ο κλάδος των μαθηματικών που συνδυάζει την αντιμεταθετική άλγεβρα με τη γεωμετρία. «Θα μπορούσαμε να πούμε ότι η άλγεβρα» εξηγεί ο κ. Ματ «είναι ο τύπος και η γεωμετρία είναι η εικόνα. Αυτό είναι και το νόημα του τίτλου“Ιmaginary”. Η λέξη “εικόνα”- “image”- αποτελεί μέρος του αφηρημένου “φανταστικού”“imaginary”» . Το όλο εγχείρημα έχει δύο σκέλη: ένα καθαρά μαθηματικό και ένα δημιουργικό, καλλιτεχνικό. Ειδικά προγράμματα που αναπτύχθηκαν από τους μαθηματικούς επιτρέπουν την «τοποθέτηση» των αλγεβρικών εξισώσεων στον χώρο και τη δημιουργία των ανάλογων σχημάτων- αλγεβρικών επιφανειών- τα οποία στη συνέχεια ο καθένας μπορεί να «γεμίσει» με τα χρώματα που θεωρεί κατάλληλα. Και όταν λέμε «ο καθένας» το εννοούμε: τα προγράμματα είναι εύχρηστα και δεν χρειάζονται ειδικές γνώσεις. Αντιθέτως, καθώς αναπτύσσει κάποιος το σχήμα, σιγά σιγά εκπαιδεύεται και αρχίζει να μπαίνει στο πνεύμα των μαθηματικών και να κατανοεί τη λειτουργία τους.
Οδηγίες χρήσης
«Κατ΄ αρχάς επιλέγετε έναν τύπο, οποιονδήποτε τύπο» εξηγεί ο κ. Ματ. «Ας πούμε τον x2+y 2-z=0. Οπως βλέπετε, ο τύπος αυτός περιλαμβάνει τρεις μεταβλητές, οι οποίες, όπως μπορείτε να φανταστείτε, αντιστοιχούν στον χώρο». Το x για παράδειγμα μπορεί να είναι στα δεξιά ή στα αριστερά, το y επάνω ή κάτω και το z στο κέντρο. Δίνοντας διαφορετικές τιμές στις μεταβλητές- π.χ., 5 στο x, 3 στο y και 1 στο z- μπορείτε να τις αντιστοιχίσετε κάθε φορά με ένα σημείο στον χώρο. «Ολα τα σημεία που λύνουν την εξίσωση ενώνονται μεταξύ τους σε ένα σχήμα. Αυτό που βλέπετε, δηλαδή, δεν είναι τίποτε άλλο από τη λύση της εξίσωσης.Και αυτό είναι πολύ ενδιαφέρον γιατί η εικόνα είναι τελικά ένας άλλος τρόπος για να δει κανείς τον τύπο».
Ακούγεται ίσως λίγο μπερδεμένο, αν όμως το προσπαθήσετε στο Surfer, το ειδικό πρόγραμμα που είναι ανοιχτό στο κοινό, θα δείτε ότι τελικά είναι πάρα πολύ απλό. «Οσο και αν προσπαθήσω να σας το εξηγήσω, ο καλύτερος τρόπος για να το μάθετε είναι να το δοκιμάσετε. Ετσι άλλωστε λειτουργούν τελικά τα μαθηματικά» λέει ο κ. Ματ. «Απλώς παίζετε, μπορείτε να βάλετε έναν οποιονδήποτε τύπο ή να πάρετε έναν από τους υπάρχοντες και να τον αλλάξετε λιγάκι.Τότε θα δείτε έναν καινούργιο τύπο και μια καινούργια εικόνα. Και μπορείτε να συνεχίσετε να τον αλλάζετε,και αυτός είναι ο καλύτερος τρόπος για να μάθετε τα μαθηματικά:παίζοντας» .
Το Ινστιτούτο προσφέρει επίσης κάποιες οδηγίες, μερικά «μαθηματικά κόλπα», για να φτιάξει κανείς συγκεκριμένες εικόνες. Αν π.χ. θέλετε να φτιάξετε ένα πρόσωπο, θα μάθετε ποιους τύπους θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε για να πετύχετε δύο μάτια, ένα στόμα και ούτω καθ΄ εξής. Και, αφού θα έχετε εξασκηθεί παίζοντας, θα φθάσετε, όπως εξηγεί ο μαθηματικός, σε κάποιο σημείο στο οποίο μόνοι σας θα μπορείτε να αλλάζετε τις εικόνες και να τις κάνετε όπως ακριβώς θέλετε. Τα χρώματα που θα χρησιμοποιήσετε και ο τίτλος που θα τους δώσετε δεν έχουν καμία σχέση με τα μαθηματικά. Εναπόκεινται απλώς στη δημιουργικότητά σας.
Μια έκθεση γεννιέται
Το πρώτο βήμα για τη δημιουργία της έκθεσης έγινε από τον αυστριακό μαθηματικό Χέρβιχ Χάουζερ, ο οποίος άρχισε να συνδυάζει αλγεβρικούς τύπους με εικόνες και να τους δίνει έναν τίτλο. Το Μathematische Forschungsinstitut Οberwolfach σκέφτηκε να αναπτύξει την ιδέα περισσότερο με τη διοργάνωση της «Ιmaginary» στο πλαίσιο του Ετους των Μαθηματικών στη Γερμανία το 2008. Το Surfer, αν και βασικό, αποτελεί ένα μόνο μέρος των διαδραστικών δραστηριοτήτων που προσφέρονται. Ο κάθε επισκέπτης μπορεί να τις δοκιμάσει μία μία ώστε να αρχίσει να μυείται στον κόσμο των μαθηματικών. «Και ένας υπεύθυνος είναι πάντα δίπλα του για να τον καθοδηγήσει και να του εξηγήσει πώς λειτουργεί το καθετί» λέει ο κ. Ματ. «Αυτό είναι ένα άλλο σημαντικό στοιχείο της έκθεσής μας: η ανθρώπινη επαφή».
Η έκθεση είχε τεράστια επιτυχία και ανταπόκριση, όχι μόνο στο γερμανικό κοινό αλλά και εκτός των συνόρων. Σύντομα άρχισε να περιοδεύει σε διάφορες χώρες. Τελευταίος σταθμός ήταν το Πανεπιστήμιο του Κέιμπριτζ στη Βρετανία τον περασμένο Μάρτιο και επόμενος θα είναι η Ζυρίχη το ερχόμενο φθινόπωρο. Η Βασιλική Ακαδημία Επιστημών της Ισπανίας την έχει «κλείσει» για ολόκληρο το 2011, αλλά στο ίδιο διάστημα θα παρουσιαστεί παράλληλα σε διάφορες πόλεις της Γερμανίας και της Βρετανίας, ενώ προγραμματίζεται και η παρουσίασή της στην Ελλάδα.
Τις περισσότερες φορές η διοργάνωση γίνεται σε συνεργασία με πανεπιστήμια ή άλλους εκπαιδευτικούς ή επιστημονικούς φορείς, το Ινστιτούτο όμως προτιμά οι εκθεσιακοί χώροι να βρίσκονται εκτός των πανεπιστημιακών ιδρυμάτων, σε κάποιο μουσείο ή ακόμη και στον δρόμο. «Είναι προτιμότερο η έκθεση να γίνεται σε έναν σταθμό του τρένου ή του μετρό, σε ένα σουπερμάρκετ ή και έξω,σε έναν υπαίθριο δημόσιο χώρο, γιατί ο βασικός στόχος της είναι να φθάσει στο ευρύ κοινό» εξηγεί ο κ. Ματ. «Δεν είναι για τους μαθηματικούς,είναι για όλους.Αλλά ταυτοχρόνως είναι μαθηματικά. Μαθηματικά που μερικές φορές μπορεί να είναι ακόμη και πολύπλοκααλλά πάντα είναι για όλους. Και η ιδέα λειτουργεί».
LYAPUNOV PLAY
Παιχνίδι Λιαπούνοφ
Ο Μάριο Μάρκους του Ινστιτούτου Μαξ Πλανκ Διατροφολογίας χρησιμοποιεί δυναμικά συστήματα για να μελετήσει την εξέλιξη των ζωικών πληθυσμών.Τα συστήματα αυτά μπορεί να επιδεικνύουν ταυτόχρονα έναν σταθερό κύκλο και μια χαοτική εξέλιξη,ανάλογα με την ικανότητα γονιμότητας των ζώων.Η σταθερότητα και το χάος μπορούν να αναλυθούν με τον υπολογισμό του λεγόμενου εκθέτη Λιαπούνοφ.Οι εικόνες του κ.Μάρκους αποτελούν έγχρωμες χαρτογραφήσεις του εκθέτη Λιαπούνοφ έναντι της γονιμότητας κατά μήκος οριζόντιων και κάθετων αξόνων.Εδώ το χάος αποδίδεται με σκούρο γαλάζιο χρώμα.
TΟ EΚΑΤΟΝΕΙΚΟΣΑΧΩΡΟΝ
Το Εκατονεικοσάχωρον είναι ένα τυπικό πολύτοπο σε τέσσερις διαστάσεις. Είναι το τετραδιάστατο αντίστοιχο ενός τρισδιάστατου δωδεκάεδρου, το οποίο έχει 12 πενταγωνικές έδρες, 20 κορυφές και 30 ακμές. Το Εκατονεικοσάχωρον έχει 120 «πλευρές» αλλά αυτές είναι τετραδιάστατες, οπότε στην πραγματικότητα γίνονται τρισδιάστατες: είναι όλες δωδεκάεδρα! Οι δισδιάστατες πλευρές αυτών των δωδεκάεδρων είναι φυσικά πεντάγωνα, συνολικά 720 στον αριθμό. Οι κορυφές είναι 600 και οι ακμές 1.200.
EΠΙΦΑΝΕΙΑ BJ RLING
Οι ελαχιστοτικές επιφάνειες έχουν τα ίδια χαρακτηριστικά καμπυλότητας με τις μεμβράνες σαπουνιού.Η κατασκευή ελαχιστοτικών επιφανειών με δεδομένα χαρακτηριστικά αποτελεί κλασικό αντικείμενο της διαφορικής γεωμετρίας.Το 1844 ο Ε.G. Βj rling έδειξε ότι για κάθε αρκετά ευνοϊκή τρισδιάστατη καμπύλη μπορεί να βρει κανείς μια στενή λωρίδα ελαχιστοτικής επιφάνειας η οποία την περιέχει.Επιπλέον μπορεί να προσδιορίσει πώς η λωρίδα θα περιστραφεί γύρω από την καμπύλη.Η επιφάνεια που απεικονίζεται εδώ έχει δημιουργηθεί με αυτόν τον τρόπο.Οι τύποι αναπτύχθηκαν από τον Ματίας Βέμπερ και το τοπίο του φόντου δημιουργήθηκε στον ηλεκτρονικό υπολογιστή από τον Σάιμον Ο΄ Κάλαχαν.
SOFA/ Καναπές
x2+y3+z5=0
Αν και αυτή η αλγεβρική επιφάνεια ονομάζεται «Καναπές», δεν είναι απαραίτητα άνετη. Αυτό που έχουμε εδώ είναι μάλλον ένα κάθισμα για δύο άτομα που χωρίζονται μεταξύ τους από μια παραδοξότητα. Η παραδοξότητα αυτή λέγεται Ε8 και είναι ίσως η πιο διάσημη στα μαθηματικά. Συνδυάζει, μεταξύ άλλων, τη θεωρία των ομάδων συμμετρίας των πλατωνικών στερεών και τη θεωρία ομάδων Lie. Η απτή εικόνα αυτής της παραδοξότητας είναι εξαιρετικά κομψή αλλά δεν αποκαλύπτει τη μαθηματική πολυπλοκότητά της• αυτή γίνεται εμφανής μόνο αν συμπεριλάβετε το φανταστικό μέρος της. HIMMEL UND H LLE/Παράδεισος και Κόλαση
x2-y2z2=0
Το σχήμα έχει πάρει τον τίτλο του από ένα παιχνίδι. Κάποιος διπλώνει ένα χαρτί με τρόπο ώστε τα τέσσερα δάχτυλά του να μπαίνουν στις τέσσερις γωνίες που σχηματίζονται. Ανοίγοντας τα δάχτυλα το χαρτί ανοίγει με δύο διαφορετικούς τρόπους ώστε κάθε φορά να φαίνονται δύο από τις εσωτερικές πλευρές ταυτοχρόνως. Οι γαλάζιες σημαίνουν τον Παράδεισο, οι κόκκινες την Κόλαση. Τα παιδιά πρέπει να μαντέψουν τι θα εμφανιστεί κάθε φορά.
Προσθέτοντας τα τετράγωνα του y και του z παίρνουμε τον υψηλότερο εκθέτη 4. Αυτό λέγεται εξίσωση τέταρτου βαθμού. Οσο μεγαλύτερος είναι ο εκθέτης τόσο πιο πολύπλοκο είναι να υπολογίσει κανείς την αλγεβρική επιφάνεια.
ZITRUS/ Εσπεριδοειδές
Η εξίσωση του εσπεριδοειδούς, όπως και η εικόνα,φαίνεται απλή: x2+y2 = y3 (1-y)3. Ενίοτε ωστόσο τα φαινόμενα απατούν.Τα σημεία συμβολής των δύο τόξων περιστρέφονται συμμετρικά γύρω από τον κεντρικό άξονα. Η εξίσωση x2+y2 = y3 χωρίς το = y3 (1-y)3 δίνει μόνο τη μία καμπύλη και η x2 + y2 (1-y)
3 δίνει τη συμμετρική εικόνα. Και οι δύο επιφάνειες εκτείνονται στο άπειρο.Το γινόμενο στη δεξιά πλευρά της αρχικής εξίσωσης «κλείνει» τα όρια του Ζitrus. Αν η απόλυτη αξία του y υπερβεί το 1, η δεξιά πλευρά γίνεται αρνητική και η εξίσωση δεν επιδέχεται πραγματικές λύσεις για το x και το z.
CALYPSO/ Καλυψώ
x2+y2z=z2
Η Καλυψώ περιλαμβάνει τρεις ευθείες γραμμές. Η οριζόντια ευθεία είναι καθαρά ορατή, περνάει από το αρχικό σημείο μηδέν (0) όπου ενώνονται το επάνω και το κάτω τμήμα της επιφάνειας. Οι άλλες δύο ευθείες βρίσκονται σε ένα κάθετο επίπεδο. Περνούν και αυτές από το 0 και τέμνονται σε αυτό το σημείο.
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΙMAGINARY: Εκφραστείτε δημιουργικά με τα μαθηματικά
«Το Βήμα» σε συνεργασία με το Μathematisches Forschungsinstitut Οberwolfach διοργανώνουν διαγωνισμό καλλιτεχνικής απεικόνισης αλγεβρικών επιφανειών. Δημιουργήστε τη δική σας εικόνα με το ειδικό πρόγραμμα Surfer που θα βρείτε στην ιστοσελίδα της εφημερίδας www.tovima.gr. Στείλτε μας τη συμμετοχή σας ως τις 26 Σεπτεμβρίου 2010 και σας ευχόμαστε να κερδίσετε έναν από τους τρεις υπολογιστές Sony Vaio ή κουπόνια 100 ευρώ για βιβλία από τα Ελληνικά Γράμματα.
Πηγή: Το Βήμα (Λαλινα Φαφουτη)

Ο ... Αϊνστάϊν της Ελλάδας

Αργυρό μετάλλιο μαθητή της Γ' Λυκείου στην Βαλκανιάδα Μαθηματικών

Τη δεύτερη θέση στην 27η Βαλκανιάδα Μαθηματικών, που πραγματοποιήθηκε στο Τσισινάου της Μολδαβίας (2-8 Μαϊου), κατέκτησε μαθητής της Γ΄’ Λυκείου ιδιωτικών εκπαιδευτηρίων της Θεσσαλονίκης.
Ο μαθητής Ευάγγελος Ταρατόρης συμμετείχε στην εξαμελή Εθνική Ομάδα, που επιλέχθηκε μετά από πανελλαδικούς διαγωνισμούς να εκπροσωπήσει την Ελλάδα στις διεθνείς Ολυμπιάδες και Βαλκανιάδες Μαθηματικών το 2010.
Διαγωνίστηκε μεταξύ δεκάδων άλλων συνομηλίκων του από χώρες των Βαλκανίων, στην άλγεβρα, γεωμετρία, στα διακριτά μαθηματικά και στη θεωρία των αριθμών, και κατάφερε να αποσπάσει το αργυρό μετάλλιο.

«Το επίπεδο των μαθηματικών στη Βαλκανιάδα είναι κατά πολύ υψηλότερο από αυτό του σχολείου. Απαιτεί πολύ προσωπικό διάβασμα, τόσο από την ελληνική όσο και από την ξένη βιβλιογραφία, και εξάσκηση στο λύσιμο ασκήσεων» δήλωσε στο ΑΠΕ - ΜΠΕ ο μαθητής και πρόσθεσε ότι ο ίδιος αφιερώνει κατά μέσο όρο καθημερινά 3-4 ώρες στα διάβασμα των μαθηματικών.
Εξαιτίας σειράς διακρίσεών του στα μαθηματικά έγινε δεκτός με υποτροφία στο πανεπιστήμιο ΜΙΤ των ΗΠΑ, όπου αποφάσισες να φοιτήσει, ενώ μπορεί να εισαχθεί χωρίς εξετάσεις σε όποια σχολή πανεπιστημίου επιθυμεί. Επιθυμία του είναι να σπουδάσει τα μαθηματικά σε συνδυασμό με κάποια άλλη επιστήμη, όπως μηχανολόγος μηχανικός ή μηχανικός ηλεκτρονικών υπολογιστών.
Ο Ευάγγελος Ταρατόρης απέσπασε το χρυσό μετάλλιο στην 27η Εθνική Μαθηματική Ολυμπιάδα, στην περσινή Βαλκανιάδα της Σερβίας απέσπασε το χάλκινο μετάλλιο, ενώ στην 50 Ολυμπιάδα Μαθηματικών στη Βρέμη της Γερμανίας τιμήθηκε με Εύφημη Μνεία.
Στον ελεύθερο χρόνο του ασχολείται με την κολύμβηση, όπου έχει επίσης διακρίσεις, στο πανελλήνιο πρωτάθλημα, όπου διαγωνίστηκε στο ελεύθερο.
Πηγή: ΑΠΕ-ΜΠΕ

ΡΩΣΙΑ-Βραβεύουν με 1 εκατ. δολάρια τον εκκεντρικό μαθηματικό

TΗΕ ΝΕW ΥΟRΚ ΤΙΜΕS

ΠΡΙΝ ΑΠΟ επτά χρόνια, ο ιδιόρρυθμος Ρώσος μαθηματικός Γκριγκόρι Πέρελμαν ξάφνιασε τον επιστημονικό κόσμο υποστηρίζοντας ότι είχε λύσει έναν από τους μεγαλύτερους γρίφους των μαθηματικών, τη λεγόμενη Εικασία του Πουανκαρέ κι έπειτα αποσύρθηκε στο καταφύγιό του στην Αγία Πετρούπολη όσο γρήγορα είχε εμφανιστεί στο προσκήνιο.
Τρία χρόνια αργότερα, ο δρ Πέρελμαν δεν εμφανίστηκε για να παραλάβει ένα βαρύτιμο βραβείο από τη Διεθνή Ένωση Μαθηματικών στη Μαδρίτη. Τώρα, όμως, τον περιμένει έπαθλο ύψους 1 εκατ.
δολαρίων από το Clay Μathematics Ιnstitute του Κέμπριτζ στη Μασαχουσέτη. Το έπαθλο ανακοινώθηκε την περασμένη Πέμπτη από τον Τζέιμς Κάρλσον, πρόεδρο του Ινστιτούτου. Ο Ρώσος μαθηματικός είναι ο πρώτος που τιμάται με αυτό το βραβείο. Θα το δεχθεί ή θα το περιφρονήσει όπως έκανε το 2006; «Θα με ενημερώσει εν ευθέτω χρόνο» δήλωσε ο δρ Κάρλσον, αλλά χωρίς να αναφερθεί σε περισσότερες λεπτομέρειες.

Αποσύρθηκε
Όταν ο Γκριγκόρι Πέρελμαν έλυσε την Εικασία του Πουανκαρέ, την οποία διατύπωσε ο Γάλλος μαθηματικός το 1904, εργαζόταν ως ερευνητής στο Ινστιτούτο Μαθηματικών Στέκλοφ στην Αγία Πετρούπολη.
«Ανέβασε» στο Διαδίκτυο ένα σκαρίφημα της λύσης, το οποίο κατελάμβανε τρεις σελίδες χαρτιού, τραβώντας σαν μαγνήτης το ενδιαφέρον της μαθηματικής κοινότητας.
Έπειτα από ένα ιλιγγιώδες τουρ στις Ηνωμένες Πολιτείες, ο δρ Πέρελμαν επέστρεψε στη Ρωσία και σιγά σιγά σταμάτησε να απαντά στα μηνύματα που έφταναν στο ηλεκτρονικό του ταχυδρομείο έως ότου «εξαφανίσθηκε» εντελώς.

Ο «μάγος» των μαθηματικών

Σήμερα Δευτέρα 22 Μαρτίου, ώρα 7 μ.μ., στη σειρά των εκδηλώσεων Μegaron-Ρlus είναι προγραμματισμένη η ομιλία του Μάρκους ντι Σότοϊ, ενός Αγγλου με πολλά ταλέντα, όχι μόνο στα μαθηματικά αλλά και στη μουσική, στο θέατρο, ακόμη και στο ποδόσφαιρο. Το πάθος του για τους πρώτους αριθμούς, τη συμμετρία και την εκλαΐκευση της επιστήμης μοιράστηκε μαζί μας ο σημαντικός αυτός μαθηματικός
Αν ρωτήσεις τον κ. Ντι Σότοϊ, έναν από τους γνωστότερους μαθηματικούς της Αγγλίας, για τον Μπέκαμ ή την Αρσεναλ, δεν θα θυμώσει ούτε θα σνομπάρει. Εχει πολλά να σου πει και μιλάει πρόθυμα γι΄ αυτά. Επίσης, μπορείς να ανοίξεις μια ενδιαφέρουσα συζήτηση μαζί του για τον Θεό. Μην αρχίσεις μόνο να τον ρωτάς τι χρειάζεται η επιστήμη στους ανθρώπους, όπως έκανε κάποιος παρουσιαστής σε ένα τηλεοπτικό πρόγραμμα και τον έκανε κυριολεκτικά... βαπόρι. «Υπάρχει μια όρεξη μεγάλη εκεί έξω στο κοινό για επιστήμη, ο κόσμος θέλει να βγει από τα συνηθισμένα που του δίνουν τα τηλεοπτικά και ραδιοφωνικά προγράμματα, θέλει να του κινήσεις το ενδιαφέρον. Πρέπει και η επιστημονική κοινότητα να παρακινηθεί για να εξηγήσει στην κοινωνία τι είναι το σημαντικό με την επιστήμη» δηλώνει μετά την τρομερή επιτυχία της τηλεοπτικής σειράς που επιμελήθηκε σχετικά με την ιστορία των μαθηματικών. Και προς αυτή την κατεύθυνση έχει κάνει μεγάλες προσπάθειες όχι μόνο με τις αρκετά θεαματικές ομιλίες του αλλά και με την ομάδα φοιτητών που έχει δημιουργήσει και ονομάσει Μarcus Μathemagicians, μαθητές του και στην επιστήμη αλλά και στο να κάνουν τα παιδιά να τους παρακολουθούν με ανοικτό το στόμα όταν τους παρουσιάζουν τα μαθηματικά σαν να είναι το πιο ωραίο παιχνίδι. Οι παραστάσεις των Μathemagicians στα σχολεία είναι δωρεάν και αυτός που προσκαλεί έχει να πληρώσει μόνο για τα ναύλα και το φαγητό.

Θέλει: «Να πάψουμε να χωρίζουμε και να βάζουμε σε κουτάκια τα μαθηματικά. Επίσης, να πάψουμε να δημιουργούμε αυτή την εντύπωση, που επηρέασε πολύ τα προηγούμενα χρόνια και τις γυναίκες, πως οι άνδρες μόνο κάνουν μαθηματικά. Ούτε πλέον ισχύει ο διαχωρισμός που είχε γίνει πριν από 50 χρόνια από τον C. Ρ. Snow στο κλασικό βιβλίο του “Οι δύο κουλτούρες”, όπου επέμενε ότι στην κοινωνία μας θα είσαι ή των Θετικών ή των Ανθρωπιστικών Επιστημών. Εγώ, λέει, δούλεψα με έναν θίασο για το έργο γύρω από τον μαθηματικό Ραμανουτζάν και οι ηθοποιοί με ρωτούσαν για προχωρημένα μαθηματικά, οπότε έπρεπε να τους κάνω κανονικό μάθημα. Και πριν από λίγο, στην ομάδα που παίζω ποδόσφαιρο, αν και κανείς δεν ασχολείται με την επιστήμη, υπήρχε μεγάλος προβληματισμός για τη λειτουργία του επιταχυντή στο CΕRΝ και καθήσαμε και το συζητήσαμε». Μαθηματικά... σαν μουσική

Δομικοί λίθοι όλων των ακεραίων αριθμών, οι πρώτοι αριθμοί αποδεικνύεται ότι είναι για το αριθμητικό μας σύστημα ό,τι τα άτομα για την ύλη

Στην κλασική ερώτηση αν τα μαθηματικά υπάρχουν και τα ανακαλύπτουμε κάποια στιγμή ή τα εφευρίσκουμε, όπως έχουμε εφεύρει το ψαλίδι ή το κανόνι, δεν καταλαμβάνεται από την παραμικρή αμηχανία. «Μου έχουν κάνει τόσες φορές αυτή την ερώτηση. Είναι σαν τη σύνθεση ενός μουσικού κομματιού. Υπάρχουν αναρίθμητοι συνδυασμοί από τις διάφορες νότες και τους ρυθμούς. Εσύ από αυτούς διαλέγεις κάτι. Στην αρχή είναι ανακάλυψη και, στη συνέχεια, από όσα ανακαλύπτεις πως υπάρχουν διαλέγεις ό,τι νομίζεις πιο καλό». Ετσι και τα μαθηματικά, είναι ανακάλυψη και εφεύρεση. Και άλλη μια φορά αυτό επαναλαμβάνεται όταν πρέπει να το εξηγήσεις σε παιδιά ή σε μεγάλους που δεν είναι οι γνώσεις τους τόσο προχωρημένες ώστε να το καταλάβουν μόνοι τους. Τότε η φαντασία και το πάθος ανθρώπων όπως ο Μάρκους ντι Σότοϊ μπαίνουν σε ενέργεια. Ναι, υπάρχει και πάθος στις παρουσιάσεις που κάνει, διότι θέλει να κάνει και τους άλλους να δουν αυτά που δεν φαίνονται και, όπως επιμένει, τα μαθηματικά μπορούν να μας κάνουν να τα δούμε. Και φέρνει ως παράδειγμα τη συμμετρία. «Τον αριθμό 5 τον έχετε δει ποτέ στην πραγματικότητα;» ρωτάει. Μόνο τις οπτικές του αναπαραστάσεις, αλλά μπορούμε και δουλεύουμε με αυτόν πολύ καλά. Το ίδιο γίνεται και με τη συμμετρία. Πέρα από κάποια σχήματα ή το ανθρώπινο κορμί, που λέμε ότι έχουν κάποιες φανερές συμμετρίες, οι μαθηματικοί ανακάλυψαν ότι μπορεί δύο αντικείμενα ή δύο σχέδια σε έναν τοίχο ενώ φαίνονται εντελώς διαφορετικά, να έχουν κάποιες «συμμετρίες» που μόνο χάρη στα μαθηματικά μπορούμε να τις ανακαλύψουμε. Το ερευνητικό έργο του συνίσταται ακριβώς στο να «δημιουργεί» οντότητες με συμμετρία σε χώρους με διαστάσεις περισσότερες από τις τρεις. Στις διαλέξεις του μάλιστα προτρέπει το κοινό να ανακαλύψει νέα τέτοια «τέρατα», και αυτό θα κάνει μεταξύ άλλων και στο Μέγαρο.

Πρώτοι αριθμοί και ποδόσφαιρο
Εχει αναπτύξει ολόκληρη θεωρία για το πόσο καλά έκανε ο Μπέκαμ και διάλεξε, όταν πήγε στη Ρεάλ, τον αριθμό 23, που ήταν πρώτος αριθμός (άσχετα αν ο Μπέκαμ μπορεί να μην έχει ακόμη ιδέα σχετικά με το τι είναι οι πρώτοι αριθμοί και να διάλεξε τον ίδιο αριθμό με αυτόν που είχε στη φανέλα του ο Μάικλ Τζόρνταν), και έπεισε τη δική του ποδοσφαιρική ομάδα να αλλάξουν όλοι τους αριθμούς τους σε πρώτους για να πάρει η ομάδα τα πάνω της. Το άλλο πάθος του αποδείχθηκε πως είναι η συμμετρία.

Οπως εξήγησε, στη σύντομη συνομιλία μαζί του λίγο πριν από τη διάλεξή του στο Μέγαρο Μουσικής αύριο Δευτέρα, πιστεύει πως «ο εγκέφαλός μας μέσα από εξελικτικές διαδικασίες έφθασε να είναι πλέον προγραμματισμένος να κάνει μαθηματικά. Διότι έτσι μπορείς να επιζήσεις, γιατί όποιοι καταλάβαιναν λίγο περισσότερο από γεωμετρία ήταν όχι μόνο σε θέση να αποφεύγουν πράγματα που εκσφενδονίζονταν εναντίον τους αλλά και να πετυχαίνουν τον στόχο τους όταν εκείνοι έριχναν. Ηταν σε θέση να κάνουν υπολογισμούς για το αν οι εχθροί ήταν πιο πολυάριθμοι και να κρίνουν αν θα πολεμήσουν ή θα τραπούν σε φυγή. Αυτοί που μπορούσαν να κάνουν “μαθηματικούς” υπολογισμούς επιβίωναν». Στην παρατήρηση ότι οι Ελληνες έκαναν μαθηματικά και σε ειρηνικούς καιρούς απαντά: «Αυτό ακριβώς ήταν που έδωσε στους Ελληνες τεράστια δύναμη». Δυνατός είναι και ο ομιλητής της αυριανής βραδιάς. Μην τον χάστε. Ή, αν τον χάσετε, διαβάστε κάποιο από τα βιβλία του.

ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΩΝ ΠΡΩΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ
Π ρώτοι αριθμοί είναι εκείνοι οι αριθμοί που δεν μπορούν να αναλυθούν σε άλλους πιο μικρούς ακέραιους ή αλλιώς αυτοί που δεν μπορείς να βρεις έναν αριθμό μικρότερο και να τουςδιαιρέσεις ακριβώς. Για παράδειγμα, οι αριθμοί 13 ή 17 είναι πρώτοι, ενώ ο 12 (=3Χ4) ή ο 18 (=3Χ6) δεν είναι. Αυτό είναι κάτι που αφήνει τους περισσότερους ανθρώπους αδιάφορους, αν και από την εποχή των αρχαίων Ελλήνων, όπως λέει ο Μάρκους ντι Σότοϊ, κατάλαβαν ότι είναι κάτι πολύ δυνατό αφού οι πρώτοι αριθμοί αποδείχθηκαν τελικά οι δομικοί λίθοι όλων των άλλων ακεραίων αριθμών. Είναι κάτι σαν τα άτομα που συγκροτούν τα κάθε είδους μόρια και τελικά τον κόσμο μας.

Οι πρώτοι αριθμοί καθώς αρχίζουμε να μετρούμε από το 1 και να προχωρούμε: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23... φαίνεται σαν να έπεσαν από τον ουρανό ανάμεσα στους άλλους αριθμούς εντελώς τυχαία και αφρόντιστα. Αυτό όμως προβλημάτισε πολλούς και πολύ διάσημους μαθηματικούς. Ενας από αυτούς ήταν ο Γερμανός Riemann που βρήκε ότι κάποιοι αριθμητικοί σχηματισμοί, με την ονομασία Ζ-συναρτήσεις (το Ζ από τη γερμανική λέξη Ζahl που σημαίνει αριθμός), έφτιαχναν μια γέφυρα ανάμεσα στους πρώτους αριθμούς και στον κόσμο της γεωμετρίας. Κατάλαβε κάποια στιγμή ότι εκεί που η Ζ-συνάρτηση γίνεται μηδέν υπάρχει σημαντική πληροφορία για τη φύση των πρώτων αριθμών. Μέσα σε αυτό το «τοπίο των Ζ-συναρτήσεων», όπως το ονομάζει ο Ντι Σότοϊ, βρίσκοντας τα σημεία όπου από μία Ζ-συνάρτηση παίρνουμε μηδέν, ο Ρίμαν διαπίστωσε με έκπληξη ότι αντί να είναι όπως τύχει, βρισκόταν επάνω σε μία ευθεία γραμμή και αυτό δεν μπορούσε να είναι σύμπτωση. Διατύπωσε λοιπόν μια υπόθεση, που ήθελε πάντως και απόδειξη, ότι δηλαδή οι πρώτοι αριθμοί θα βρίσκονται όλοι πάνω σε αυτή τη γραμμή. Και όπως παραστατικά το διατύπωσε ο Ντι Σότοϊ «συμπεριφέρονται σαν τα μόρια ενός αερίου σε κλειστό χώρο. Αν και δεν ξέρεις πού βρίσκονται ακριβώς, μπορείς να είσαι βέβαιος ότι είναι κατανεμημένα αρκετά κανονικά στον χώρο».

Πολλά θεωρήματα θα έβγαιναν πράγματι σωστά αν ίσχυε η Υπόθεση του Ρίμαν. Πέρασε ένας αιώνας και παραπάνω χωρίς να συμβεί κάτι το συνταρακτικό. Φθάσαμε στο 1972, όπου συναντήθηκαν ο άγγλος φυσικός Φαρίμαν Ντάισον και ο μαθηματικός Χιου Μοντγκόμερι πάνω από δύο φλιτζάνια με αχνιστό τσάι στο Πρίστον. Πάνω στη συζήτηση ανακάλυψαν ότι μια σειρά από πρώτους αριθμούς που έβγαιναν από μια Ζ-συνάρτηση συνέπιπτε ακριβώς με τις ενεργειακές στάθμες ενός ατόμου του στοιχείου Ερβιο (Νο 68 στον Περιοδικό Πίνακα Στοιχείων) όπως αυτές μπορούσαν να προβλεφθούν με βάση τις εξισώσεις της Κβαντικής Μηχανικής. Ετσι το 1996, όταν πια είχαν πειστεί ότι υπήρχε κάποια σχέση και οι φυσικοί, έπεσαν με τα μούτρα στο πρόβλημα για να φωτίσουν και τους μαθηματικούς. Τελικά επιβεβαιώθηκε από τους Κίτινγκ και Σνάιθ ότι η Υπόθεση Ρίμαν ήταν σωστή και ότι υπήρχε σχέση ανάμεσα στην κατανομή των πρώτων αριθμών μέσα στο πλήθος των υπολοίπων ακεραίων αριθμών και στις ενεργειακές στάθμες, συνδέοντας έτσι τη φυσική με τα μαθηματικά και τονίζοντας για άλλη μια φορά τη σημασία των πρώτων αριθμών.

ΠΟΙΟΣ ΕΙΝΑΙ Ο ΜARCUS DU SAUTOY
ΓΕΝΝΗΘΗΚΕ στις 26 Αυγούστου του 1965 στο Λονδίνο.Εχει όμως γαλλική ρίζα αφού κάποιος πρόγονός του το 1715 πιάστηκε αιχμάλωτος από τους Αγγλους,οδηγήθηκε στην Αγγλία και έμεινε εκεί για πάντα.Οταν ήταν μικρό παιδί ήθελε να γίνει κατάσκοπος και ξεκίνησε να μαθαίνει πολλές γλώσσες για να κάνει διεθνή καριέρα.Διαπίστωσε όμως ότι οι πολλές γλώσσες έφερναν μαζί τους και πολλές γραμματικές και συντακτικές εξαιρέσεις,και αυτό του ήταν πολύ κουραστικό.Ετσι όταν κάποτε βρέθηκε σε ένα μεγάλο πανεπιστημιακό βιβλιοπωλείο και έφυγε από εκεί με μια μεγάλη σακούλα γεμάτη βιβλία μαθηματικών,φθάνοντας στο σπίτι είχε καταλάβει ότι η γλώσσα των αριθμών ήταν αυτό που του ταίριαζε πιο πολύ από όλα και αφιερώθηκε σε αυτήν.Σπούδασε με υποτροφία και ταυτόχρονα ασχολήθηκε με τη μουσική.Σήμερα είναι καθηγητής των Μαθηματικών με αντικείμενο έρευνας τη Θεωρία Ομάδων,αλλά και πολύ καλός τρομπετίστας.Διαδέχθηκε τον Δεκέμβριο του 2008 στην Οξφόρδη τον Richard Dawkins στη φημισμένη έδρα Charles Simonyi που δίδεται σε όποιον με το επιστημονικό έργο του αλλά και με την προσωπικότητά του πείθει ότι θα εργαστεί για να κατανοήσει ο κόσμος την αξία της επιστήμης.Το 2001 βραβεύθηκε για την έρευνά του με το ανώτατο βραβείο που δίδεται σε μαθηματικούς κάτω των 40 ετών,αλλά εκτός αυτού έγινε γνωστός και για μια σειρά τεσσάρων επεισοδίων με τίτλο «Η ιστορία των μαθηματικών» που έκανε με το ΒΒC.

Είναι παντρεμένος και πατέρας τριών παιδιών,εκ των οποίων τα δύο είναι υιοθετημένα.Εκτός από τα μαθηματικά και τη μουσική, τον ενδιαφέρει πολύ το ποδόσφαιρο και το θέατρο.Τα ξέρει καλά και τα δύο,είναι οπαδός της Αρσεναλ,δηλώνει άθεος,έχει εντυπωσιάσει ακόμη και τους συμπατριώτες του για το εκκεντρικό ως και κακόγουστο ντύσιμό του και έχει γράψει ένα θεατρικό έργο γύρω από τη ζωή του ινδού μαθηματικού Ραμανουτζάν.

Στα ελληνικά κυκλοφορούν τα βιβλία του «Η μουσική των πρώτων αριθμών» και «Η Θεωρία ομάδων» από τις εκδόσεις Τραυλός.

Η θεωρία των ομάδων
Eκτός από την Αρσεναλ και τη δική του, τον αυριανό ομιλητή απασχολούν και κάποιες άλλες ομάδες. Γενικά στα μαθηματικά, όταν κάνουμε λόγο για μια ομάδα, εννοούμε ότι έχουμε ένα σύνολο από πράγματα, μαζί και «μια πράξη», όπως λέμε, δηλαδή έναν τρόπο για το πώς θα μεταχειριζόμαστε τα πράγματα αυτά και κάποιες απαραίτητες προδιαγραφές. Ετσι μία από τις πρώτες ομάδες που έχουμε συναντήσει από τα μαθητικά μας κιόλας χρόνια είναι ένα σύνολο από αριθμούς με κανόνα το πώς θα τους προσθέτουμε ή θα τους πολλαπλασιάζουμε, όπου οι προδιαγραφές εκεί ήταν να υπάρχει το μηδενικό στοιχείο, ο πολλαπλασιασμός με τη μονάδα, η πρόσθεση που μπορεί να γίνει με οποιαδήποτε σειρά και το ότι το αποτέλεσμα της πρόσθεσης δίνει και πάλι αριθμό.
Ωστόσο οι άνθρωποι δεν σταμάτησαν εκεί. Αρχισαν να βλέπουν ομάδες και σε άλλα πράγματα. Για παράδειγμα, υπάρχει ολόκληρη θεωρία για το πώς μπορούμε να έχουμε ένα πρόγραμμα κινήσεων ώστε να γυρίζουμε στη διάρκεια του έτους το στρώμα μας προς όλες τις κατευθύνσεις κάθε τρεις μήνες. Οι περιστροφές που μπορούν να γίνουν ώστε κάθε φορά το μαξιλάρι μας να είναι σε μια διαφορετική κορυφή από τις τέσσερις του στρώματος αποτελούν μια ομάδα. Και τελικά οι κατασκευαστές με τη βοήθεια των μαθηματικών ανακάλυψαν ότι αν στις δύο μεγάλες πλευρές του στρώματος το ύφασμα έχει παράλληλες ραβδώσεις αλλά κάθετες μεταξύ τους, αρκεί κάθε φορά να κάνουμε τέτοιες περιστροφές στο στρώμα ώστε να είναι η κίνησή του παράλληλη με τις ραβδώσεις για να πετυχαίνουμε τη σωστή σειρά αλλαγών. Βέβαια η θεωρία των ομάδων έχει βοηθήσει και σε πολύ πιο σοβαρά θέματα, όπως είναι η Θεωρία των Στοιχειωδών Σωματίων και η Φυσιολογία των Ιών που μας κάνουν και αρρωσταίνουμε. Και όλα αυτά ξεκίνησαν από την ανακάλυψη ότι όπως ισχύει για τη διαίρεση των αριθμών έτσι και κάθε συμμετρικό αντικείμενο μπορεί να διαιρεθεί σε μικρότερα που το σύνολο των συμμετριών τους να μη διαιρείται ακριβώς. Η συμμετρία ενός αντικειμένου είναι όλα εκείνα που μπορούμε να κάνουμε σε αυτό διατηρώντας την όψη του απαράλλακτη. Οπως λοιπόν οι πρώτοι αριθμοί είναι οι δομικοί λίθοι των άλλων αριθμών, υπάρχουν και οι βασικές ομάδες συμμετριών που με αυτές οικοδομούνται όλα τα συμμετρικά αντικείμενα. Οπως είπε ο Ντι Σότοϊ «οι άνθρωποι και τα ζώα ενστικτωδώς διαλέγουν και αγαπούν τα συμμετρικά αντικείμενα».
Πηγή: Το Βήμα (Α.ΓΑΛΔΑΔΑ)

Ημέρα του π: Ο αριθμός π γιορτάζει στην google

Τον αριθμό π τον γνωρίζουμε σίγουρα όλοι. Είναι αναγκαίος σε μαθηματικα, γεωμετρία, φυσική...
Αεί ο Θεός ο Μέγας γεωμετρεί, το κύκλου μήκος ίνα ορίση διαμέτρω, παρήγαγεν αριθμόν απέραντον, καί όν, φεύ, ουδέποτε όλον θνητοί θα εύρωσι.................
Για την απομνημόνευση των πρώτων λίγων δεκαδικών ψηφίων του αριθμού π έχουν επινοηθεί διάφοροι μνημονικοί κανόνες, ανάμεσά τους και η παραπάτω φράση, με την οποία μπορεί να θυμάται κανείς τα πρώτα 23 δεκαδικά ψηφία του π
Τον μάθαμε στο σχολείο, ας κάναμε και αλλιώς, και σήμερα η google αφιερώνει το logo της σε αυτόν. Το π που προέρζεται από το πρώτο γράμμα της λέξης περιφέρεια μας βοηθα σύμφωνα με τον Ευκλέιδη να βρούμε την διάμετρο του κύκλου.

Τα πρώτα 50 δεκαδικά ψηφία του π είναι:
3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510
Το π είναι γνωστό επίσης ως σταθερά του Αρχιμήδη (δεν πρέπει να συγχέεται με τον αριθμό του Αρχιμήδη) ή αριθμός του Λούντολφ.
Το πλήθος των γραμμάτων κάθε λέξης της φράσης αυτής αντιστοιχεί σε καθένα από τα διαδοχικά ψηφία του αριθμού π (3,14159...)
Το ρεκόρ Γκίνες είναι 67.890 ψηφία και το κατέχει ο Lu Chao, 24-χρονος κινέζος φοιτητής. Του πήρε 24 ώρες και 4 λεπτά για να θυμηθεί και τα 67.890 δεκαδικά ψηφία του π χωρίς λάθος.
Η μαθηματική σταθερά π είναι ένας πραγματικός αριθμός που μπορεί να οριστεί ως ο λόγος του μήκους της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του στην Ευκλείδεια γεωμετρία, και ο οποίος χρησιμοποιείται πολύ συχνά στα μαθηματικά, τη φυσική και τη μηχανολογία. Ο συμβολισμός προέρχεται από το αρχικό γράμμα «π» (πι) της λέξης «περιφέρεια», και έχει καθιερωθεί διεθνώς, ενώ στο ....λατινικό αλφάβητο συμβολίζεται ως Pi, όταν δεν είναι διαθέσιμοι τυπογραφικά ελληνικοί χαρακτήρες. Το π είναι γνωστό επίσης ως σταθερά του Αρχιμήδη
Στην Ευκλείδια επιπεδομετρία, το π μπορεί να οριστεί είτε ως ο λόγος της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του, είτε ως ο λόγος του εμβαδού ενός κύκλου προς το εμβαδόν του τετραγώνου που έχει πλευρά ίση με την ακτίνα του κύκλου. Τα εγχειρίδια ανώτερων μαθηματικών ορίζουν το π αναλυτικά χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικές συναρτήσεις, για παράδειγμα ως το μικρότερο θετικό x για το οποίο ισχύει ημ(x) = 0, ή ως δύο φορές το μικρότερο θετικό x για το οποίο ισχύει συν(x) = 0. Όλοι αυτοί οι ορισμοί είναι ισοδύναμοι.
Μολονότι η ακρίβεια αυτή είναι παραπάνω από επαρκής για πρακτικούς σκοπούς στη μηχανολογία και την επιστήμη, η ακριβής τιμή του π περιλαμβάνει άπειρα δεκαδικά ψηφία (που επιπλέον δεν επαναλαμβάνονται ποτέ με την ίδια σειρά). Κατά τους λίγους τελευταίους αιώνες, έχουν καταβληθεί μεγάλες προσπάθειες για τον υπολογισμό όλο και περισσότερων ψηφίων του π και τη διερεύνηση των ιδιοτήτων του αριθμού αυτού. Παρά τον όγκο της αναλυτικής εργασίας, σε συνδυασμό με τη χρήση υπερυπολογιστών σε υπολογισμούς που έχουν προσδιορίσει πάνω από 1 τρισεκατομμύριο ψηφία του π, δεν βρέθηκε ποτέ κάποια αναγνωρίσιμη διάταξη στα ψηφία του. Ψηφία του π είναι διαθέσιμα από μια πληθώρα πηγών στο Διαδίκτυο, και ένας κοινός προσωπικός υπολογιστής μπορεί να υπολογίσει δισεκατομμύρια ψηφία του π μέσω διαθέσιμου λογισμικού.
Πηγή:youget.pblogs.gr

Αριθμός π

Η μαθηματική σταθερά π είναι ένας πραγματικός αριθμός που μπορεί να οριστεί ως ο λόγος του μήκους τηςπεριφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του στην Ευκλείδεια γεωμετρία, και ο οποίος χρησιμοποιείται πολύ συχνά στα μαθηματικά, τη φυσική και τη μηχανολογία. Ο συμβολισμός προέρχεται από το αρχικό γράμμα «π» (πι) της λέξης «περιφέρεια», και έχει καθιερωθεί διεθνώς, ενώ στο λατινικό αλφάβητο συμβολίζεται ως Pi, όταν δεν είναι διαθέσιμοι τυπογραφικά ελληνικοί χαρακτήρες. Το π είναι γνωστό επίσης ως σταθερά του Αρχιμήδη (δεν πρέπει να συγχέεται με τον αριθμό του Αρχιμήδη) ή αριθμός του Λούντολφ.
Στην Ευκλείδια επιπεδομετρία, το π μπορεί να οριστεί είτε ως ο λόγος της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του, είτε ως ο λόγος του εμβαδού ενός κύκλου προς το εμβαδόν του τετραγώνου που έχει πλευρά ίση με την ακτίνα του κύκλου. Τα εγχειρίδια ανώτερων μαθηματικών ορίζουν το π αναλυτικάχρησιμοποιώντας τριγωνομετρικές συναρτήσεις, για παράδειγμα ως το μικρότερο θετικό x για το οποίο ισχύει ημ(x) = 0, ή ως δύο φορές το μικρότερο θετικό x για το οποίο ισχύει συν(x) = 0. Όλοι αυτοί οι ορισμοί είναι ισοδύναμοι.
Ο Αρχιμήδης καθόρισε την πρώτη επιστημονικά αποδιδεγμένη μέθοδο με την οποία υπολογίζεται ο αριθμός.
Τα πρώτα 50 δεκαδικά ψηφία του π είναι:
3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510

Μολονότι η ακρίβεια αυτή είναι παραπάνω από επαρκής για πρακτικούς σκοπούς στη μηχανολογία και την επιστήμη, η ακριβής τιμή του π περιλαμβάνει άπειρα δεκαδικά ψηφία (που επιπλέον δεν επαναλαμβάνονται ποτέ με την ίδια σειρά). Κατά τους λίγους τελευταίους αιώνες, έχουν καταβληθεί μεγάλες προσπάθειες για τον υπολογισμό όλο και περισσότερων ψηφίων του π και τη διερεύνηση των ιδιοτήτων του αριθμού αυτού. Παρά τον όγκο της αναλυτικής εργασίας, σε συνδυασμό με τη χρήσηυπερυπολογιστών σε υπολογισμούς που έχουν προσδιορίσει πάνω από 1 τρισεκατομμύριο ψηφία του π, δεν βρέθηκε ποτέ κάποια αναγνωρίσιμη διάταξη στα ψηφία του. Ψηφία του π είναι διαθέσιμα από μια πληθώρα πηγών στο Διαδίκτυο, και ένας κοινός προσωπικός υπολογιστής μπορεί να υπολογίσει δισεκατομμύρια ψηφία του π μέσω διαθέσιμου λογισμικού.
Ιδιότητες
Το π είναι ένας άρρητος αριθμός• αυτό σημαίνει ότι δεν μπορεί να εκφραστεί ως ο λόγος δύο ακεραίων αριθμών, πράγμα που αποδείχθηκε το 1761 από τον Γιόχαν Χάινριχ Λάμπερτ (Johann Heinrich Lambert).
Το π είναι επίσης υπερβατικός αριθμός, όπως αποδείχθηκε από τονΦέρντιναντ φον Λίντεμανν (Ferdinand von Lindemann) το 1882. Αυτό σημαίνει ότι δεν υπάρχει πολυώνυμο με ρητούς συντελεστές του οποίου να αποτελεί ρίζα το π. Μια σημαντική συνέπεια της υπερβατικότητας του π είναι το γεγονός ότι δεν είναι κατασκευάσιμο. Επειδή οι συντεταγμένες όλων των σημείων που μπορούν να κατασκευαστούν με κανόνα και διαβήτη είναι κατασκευάσιμοι αριθμοί, είναι αδύνατον να τετραγωνίσουμε τον κύκλο, με άλλα λόγια, είναι αδύνατον να κατασκευάσουμε, χρησιμοποιώντας μόνο κανόνα και διαβήτη, ένα τετράγωνο με εμβαδόν ίσο προς το εμβαδόν δοσμένου κύκλου.
«Αεί ο Θεός ο Μέγας γεωμετρεί...»
Για την απομνημόνευση των πρώτων λίγων δεκαδικών ψηφίων του αριθμού π έχουν επινοηθεί διάφοροι μνημονικοί κανόνες, ανάμεσά τους και η παρακάτω φράση, με την οποία μπορεί να θυμάται κανείς τα πρώτα 23 δεκαδικά ψηφία του π:
Αεί ο Θεός ο Μέγας γεωμετρεί, το κύκλου μήκος ίνα ορίση διαμέτρω, παρήγαγεν αριθμόν απέραντον, καί όν, φεύ, ουδέποτε όλον θνητοί θα εύρωσι
Το πλήθος των γραμμάτων κάθε λέξης της φράσης αυτής αντιστοιχεί σε καθένα από τα διαδοχικά ψηφία του αριθμού π (3,14159...)
Το ρεκόρ Γκίνες είναι 67.890 ψηφία και το κατέχει ο Lu Chao, 24-χρονος κινέζος φοιτητής. Του πήρε 24 ώρες και 4 λεπτά για να θυμηθεί και τα 67.890 δεκαδικά ψηφία του π χωρίς λάθος.
Τα περισσότερα ψηφία που υπολογίστηκαν σε προσωπικό υπολογιστή
Τα περισσότερα ψηφία που υπολογίστηκαν σε προσωπικό υπολογιστή έγιναν από τον Shigeru Kondo στον Xeon X5460 στα 3.16Ghz με 48GB RAM χρησιμοποιώντας Windows 2003 server x64. Ο Kondo υπολόγισε 100.000.000.000 ψηφία χρησιμοποιώντας την 64-bit έκδοση του Pagliarulo's QuickPi v4.5. Πήρε μόνο 40 ημέρες αρχίζοντας από τη 16 Ιανουαρίου 2008.
Η σελίδα του Stu's μεταγλωττίζει μια λίστα από μεγάλους αριθμούς (πάνω από 1 δισ. ή 1.073.741.824).
Το τελευταίο ρεκόρ σε υπερυπολογιστή είναι 1.241.100.000.000 ψηφία από τον Νοέμβριο του 2002 από το εργαστήριο Yasumasa Kanada του Πανεπιστημίου του Τόκιο.
Πηγή: Βικιπαίδεια

Αναζητείται νέα λέξη-πρόθημα για τους πολύ-πολύ μεγάλους αριθμούς

Προτείνεται το "hella"

Όταν οι αριθμοί μεγαλώνουν υπερβολικά, τα πράγματα δυσκολεύουν, όχι μόνο στους υπολογισμούς, αλλά και στις λέξεις που θα περιγράψουν αυτά τα νούμερα. Μια νέα ηλεκτρονική καμπάνια ξεκίνησαν διεθνώς ορισμένοι επιστήμονες και φοιτητές, ζητώντας να ονομαστεί "hella" ο αριθμός 1.000.000.000.000.000.000.000.000.000 και να παίρνει αυτό το πρόθημα κάθε αριθμός που είναι μεγαλύτερος από το 1 ακολουθούμενο από 27 μηδενικά.
Η αγγλική λέξη "hella" (που θυμίζει Ελλάδα… παρά ένα γράμμα) σημαίνει "πάρα πολλά" στην αργκό της Καλιφόρνιας. Οι αμερικανοί μαθηματικοί και φυσικοί (με πρωτεργάτη τον φοιτητή Όστιν Σέντεκ από το πανεπιστήμιο της Καλιφόρνιας) ξεκίνησαν την επιγραμμική (online) καμπάνια στο διαδίκτυο, ζητώντας υπογραφές από κάθε ενδιαφερόμενο, προκειμένου να καθιερωθεί διεθνώς το συγκεκριμένο πρόθημα, μαζί με άλλα πιο γνωστά, όπως τα "mega" (μεγα-) και "giga" (γιγα-). Περισσότεροι από 20.000 άνθρωποι -ανάμεσα τους επιστήμονες και φοιτητές- έχουν ήδη υπογράψει τη σχετική ηλεκτρονική αίτηση στο Φέισμπουκ (Facebook), σύμφωνα με τις βρετανικές "Τέλεγκραφ" και "Ντέιλι Μέιλ" και το "Νιου Σάιεντιστ".

Οι υποστηρικτές του αιτήματος θεωρούν ότι, μετά τις πρόσφατες επιστημονικές εξελίξεις, το Διεθνές Σύστημα Μονάδων πρέπει να επεκταθεί για να συμπεριλάβει ακόμα μεγαλύτερους αριθμούς. Όπως αναφέρουν, "η ανάλυση πολλών φυσικών φαινομένων αποκαλύπτει φυσικές ποσότητες που υπερβαίνουν την τάξη μεγέθους των 27 μηδενικών, έναν αριθμό που σήμερα αγνοείται από το Διεθνές Σύστημα Μονάδων".
Σύμφωνα με τους υποστηρικτές του αιτήματος, τόσο μεγάλοι αριθμοί έχουν ζωτική σημασία για τους επιστήμονες, όσον αφορά στους υπολογισμούς σε πολλά ερευνητικά πεδία, όπως η ενέργεια του ήλιου, οι αποστάσεις μεταξύ των γαλαξιών και ο αριθμός των ατόμων. Όπως πιστεύει ο Σέντεκ, θα ήταν για παράδειγμα, καλύτερα αν η ποσότητα ενέργειας που απελευθερώνει ο ήλιος μας, δεν εκφραζόταν ως 300 yottawatts αλλά ως 0,3 hellawatts.
Ο μέχρι σήμερα μεγαλύτερος αριθμός με διεθνώς αναγνωρισμένο πρόθημα (yotta) είναι το 1 ακολουθούμενο από 24 μηδενικά, που αναγνωρίστηκε από τη Διεθνή Επιτροπή Μέτρων και Σταθμών το 2001, μαζί με το πρόθημα "zetta", που αφορά τον αριθμό 1 ακολουθούμενο από 21 μηδενικά.
Όμως η αρμόδια διεθνής Επιτροπή μάλλον δύσκολα θα υιοθετήσει το αίτημα, καθώς ακόμα και τα προθήματα για λίγο μικρότερους μεγάλους αριθμούς σπάνια χρησιμοποιούνται και δεν φαίνεται διατεθειμένη να περιπλέξει περισσότερο τα πράγματα με το "hella" (ή όποιο άλλο πρόθημα) - προς το παρόν τουλάχιστον. Άλλωστε, αυτή τη στιγμή η Επιτροπή φαίνεται να έχει πιο πιεστικά προβλήματα, όπως να επαναπροσδιορίσει το επίσημο βάρος του κιλού.
Ακολουθεί μια διευκρινιστική παράθεση των προθημάτων των μεγάλων αριθμών, σύμφωνα με το "Physics World":
- yotta: Ο αριθμός 1 και 24 μηδενικά
- zetta: Ο αριθμός 1 και 21 μηδενικά
- exa: Ο αριθμός 1 και 18 μηδενικά
- peta: Ο αριθμός 1 και 15 μηδενικά
- tera: Ο αριθμός 1 και 12 μηδενικά
- giga: Ο αριθμός 1 και 9 μηδενικά
- mega: Ο αριθμός 1 και 6 μηδενικά
- kilo: Ο αριθμός 1 και 3 μηδενικά

Link: Η σελίδα στο Facebook του αιτήματος υπέρ του "hella": http://www.facebook.com/pages/The-Official-Petition-to-Establish-Hella-as-the-SI-Prefix-for-1027/277479937276?v=info

Πηγή: ΑΠΕ-ΜΠΕ

Μαθήματα μαθηματικών

«Αεί ο Θεός ο Μέγας γεωμετρεί, το κύκλου μήκος ίνα ορίση διαμέτρω, παρήγαγεν αριθμόν απέραντον, και ον, φεύ, ουδέποτε όλον θνητοί θα εύρωσι».

Έτσι μαθαίναμε στο σχολείο ότι μπορούμε να θυμόμαστε τα πρώτα 23 δεκαδικά ψηφία του θρυλικού αριθμού πι. Ο Γάλλος μαθηματικός Φαμπρίς Μπελάρ προχώρησε λίγο περισσότερο: υπολόγισε τα πρώτα 2,7 τρισεκατομμύρια δεκαδικά ψηφία του αριθμού αυτού. Όταν η είδηση δημοσιεύτηκε στην ιστοσελίδα των Τάιμς, υπήρξαν πολλές και ποικίλες αντιδράσεις. Οι περισσότερες συνοδεύονταν από έκπληξη και θαυμασμό. Η πιο ενδιαφέρουσα ήταν η εξής: «Αυτός ο τύπος γκόμενα έχει;». Στην απορία αυτή, ο υπεύθυνος της ιστοσελίδας απάντησε ότι ο διάσημος μαθηματικός Τζον Νας όχι μόνο ήταν γυναικάς, αλλά χρησιμοποιούσε τη θεωρία των παιγνίων για να προσδιορίζει κάθε φορά την καλύτερη μέθοδο προσέγγισης μιας γυναίκας.

Είναι αλήθεια, πάντως, ότι ο Βρετανός αναγνώστης έχει ένα δίκιο. Η τιτάνια προσπάθεια του Μπελάρ δεν τον φέρνει και πλησιέστερα προς την πλήρη κατανόηση αυτού του αριθμού σε σχέση με το σημείο από το οποίο ξεκίνησε. Κι αυτό, για έναν πολύ απλό λόγο: ο αριθμός πι είναι άρρητος και υπερβατικός. Αυτό σημαίνει ότι τα δεκαδικά του ψηφία είναι άπειρα. Και το άπειρο είναι σαν την αιωνιότητα. Για να μας βοηθήσει να καταλάβουμε τι σημαίνει αυτό το πράγμα, ο Μάθιου Σάιεντ των Τάιμς ανατρέχει σ΄ έναν ορισμό του Ντέιβιντ Λοτζ: «Φανταστείτε μια ατσαλένια μπάλα μεγάλη σαν τον κόσμο, και μία μύγα να προσγειώνεται σ΄ αυτήν κάθε ένα εκατομμύριο χρόνια. Όταν η μπάλα αυτή διαβρωθεί από την τριβή, η αιωνιότητα δεν θα έχει ακόμη ξεκινήσει».
Μια τέτοια αιωνιότητα υπόσχονται οι θρησκείες. Ακόμη κι αν είχαν δίκιο, θα ήταν ασφαλώς κάτι πολύ βαρετό. Γιατί όπως ο Μπελάρ δεν έφτασε με το μαθηματικό του κατόρθωμα πιο κοντά στην κατανόηση του πι, έτσι κι εκείνοι που ονειρεύονται την αθανασία δεν θα φτάσουν πιο κοντά στο νόημα της ζωής. Ένας δρόμος που συνεχίζεται για πάντα, και οδηγεί παντού, δεν οδηγεί στην πραγματικότητα πουθενά.
Οι Νιου Γιορκ Τάιμς πρέπει να πήραν το μήνυμα. Και ξεκίνησαν από χθες μια στήλη που φιλοδοξεί να εξηγήσει τα μαθηματικά ξεκινώντας από πολύ απλές έννοιες. Στη δημοφιλή τηλεοπτική σειρά «Σουσάμι άνοιξε», ο Χάμφρι περνάει στην κουζίνα την παραγγελία από το δωμάτιο των πιγκουίνων: «Ψάρι, ψάρι, ψάρι, ψάρι, ψάρι, ψάρι». Μα δεν θα ήταν καλύτερα να έλεγε ο χριστιανός «έξι ψάρια»; Ιδού η χρησιμότητα των αριθμών.
Τώρα, μάλιστα, το καταλάβαμε. Το πρόβλημα γίνεται λίγο πιο σύνθετο αν ο Χάμφρι πάρει την ίδια παραγγελία από ένα δεύτερο δωμάτιο με πιγκουίνους. Εδώ έχει πολλές επιλογές. Αν είναι ανεπίδεκτος, θα πει τη λέξη «ψάρι» δώδεκα φορές. Αν έχει μάθει κάτι, θα πει «Δύο φορές έξι ψάρια». Το ιδανικό βέβαια θα είναι να πει «Δώδεκα ψάρια». Αλλά αυτό είναι το επόμενο μάθημα.
Πηγή: Τα Νέα (Μιχάλη Μητσού)

Μόδα με 300.000 πωλήσεις στην Ελλάδα: Λογοτεχνία με μαθηματική ακρίβεια

Όλα ξεκίνησαν από ένα ελληνικό βιβλίο.

Και η μαθηματική λογοτεχνία, με πάνω από 300.000 πωλήσεις στη χώρα μας, έγινε διεθνής μόδα.

Σειρά εκδηλώσεων αποκαλύπτει τη γοητεία της
Η ιστοσελίδα Μathematical Fiction του Άλεξ Κάσμαν περιέχει κατάλογο με περίπου 850 έργα μυθοπλασίας, από την αρχαιότητα μέχρι σήμερα, που σχετίζονται με τα μαθηματικά. Τα 500 έχουν γραφτεί μετά το 1990. Τον ίδιο τον όρο όμως Μathematical Fiction (μαθηματική λογοτεχνία) εισήγαγε ο Βρετανός δημοσιογράφος του «Ιndependent» Gilbert Αdair, με αφορμή την έκδοση ενός ελληνικού βιβλίου! Του μυθιστορήματος «Ο θείος Πέτρος και η εικασία του Γκόλντμπαχ» του Απόστολου Δοξιάδη το οποίο, σύμφωνα με τον δημοσιογράφο, εγκαινίασε ένα νέο λογοτεχνικό είδος.
Έκτοτε η μαθηματική λογοτεχνία έγινε μόδα. Συγγραφείς όπως ο Γάλλος Ντενί Γκετζ ή ο Ιταλός Κάρλο Φραμπέτι γράφουν αποκλειστικά μαθηματικά μυθιστορήματα, ενώ άλλοι δοκιμάζουν την τύχη τους και σε αυτό το είδος. Στην Ελλάδα κυκλοφορούν τον χρόνο γύρω στα πενήντα βιβλία αυτής της κατηγορίας.
«Όταν πρωτοδιάβασα τον "Θείο Πέτρο" το θεώρησα απλώς ένα εξαιρετικό έργο, του οποίου η θεματολογία άγγιζε τα ιδιαίτερα ενδιαφέροντά μου», λέει στα «ΝΕΑ» ο μαθηματικός Τεύκρος Μιχαηλίδης, συγγραφέας βιβλίων της κατηγορίας («Πυθαγόρεια εγκλήματα», «Αχμές, ο γιος του φεγγαριού»), αλλά και δεινός μεταφραστής τους.
«Όταν μερικά χρόνια αργότερα μου δόθηκε για μετάφραση το "Θεώρημα του παπαγάλου" του Ντενί Γκετζ και στη συνέχεια οι "Άγριοι Αριθμοί" του Σογκτ, το "Μόμπιους Ντικ" του Κρούμεϊ και άλλα μυθιστορήματα που στρέφονταν γύρω από τα μαθηματικά, συνειδητοποίησα ότι δεν πρόκειται απλώς για εξαιρετικά λογοτεχνικά έργα, αλλά για ένα νέο ξεχωριστό λογοτεχνικό γένος».

Και εξηγείται: «Πιστεύω πως η μαθηματική λογοτεχνία ως αυτόνομο γένος είναι μια πραγματικότητα, που επιτέλους είναι εδώ για να βοηθήσει τον καθένα να αναγνωρίσει τον μαθηματικό που κρύβει μέσα του σε πείσμα της εκπαίδευσης και της προκατάληψης που καταφέρνουν μέχρι τώρα με επιτυχία να τον καταπνίξουν».
Να όμως που διαφωνεί ο... γενάρχης: «Ομολογώ ότι δεν πείσθηκα από τον χαρακτηρισμό "μαθηματική λογοτεχνία" της ξένης κριτικής», λέει ο Απόστολος Δοξιάδης. «Για μένα, ο "Θείος Πέτρος" είναι μυθιστόρημα που περιγράφει την αναζήτηση ενός παθιασμένου ανθρώπου για ένα απόλυτο όραμα. Το ότι το όραμα είναι μαθηματικό έχει να κάνει με τα γούστα, τις σπουδές, τις γνώσεις μου. Πιστεύω ότι κάθε λογοτεχνικό κρίνεται αυτό καθαυτό και η ύπαρξη ενός είδους ή γένους (genre) "μαθηματικής λογοτεχνίας" είναι ένας μύθος», καταλήγει.
Όταν πρωτοεκδόθηκε το βιβλίο στα ελληνικά, πριν από 17 χρόνια, πέρασε σχεδόν απαρατήρητο: «Η κριτική, που είχε σχολιάσει πολύ ευνοϊκά τα προηγούμενα έργα μου, το αντιμετώπισε από εχθρικά ως αδιάφορα, είτε απορρίπτοντάς το ως κακότεχνο είτε αποδίδοντάς του καλές προθέσεις μεν, αλλά εξορίζοντάς το από τον ιερό χώρο της λογοτεχνίας ως υβρίδιο», εξηγεί ο Απόστολος Δοξιάδης. Επτά χρόνια αργότερα, ο "Θείος Πέτρος" επανεκδόθηκε, «κάπως ξαναδουλεμένος», στα αγγλικά και σε άλλες τριάντα γλώσσες. «Οι ξένοι κριτικοί αναγνώρισαν στη μεικτή μορφή του ένα ενδιαφέρον πάντρεμα, μύθου και σκέψης», λέει.
«Στη μυθοπλασία υπάρχει και το σικέ», λένε Απόστολος Δοξιάδης και Τεύκρος Μιχαηλίδης, ανιχνεύοντας ειδικότερα τη σχέση αστυνομικού μυθιστορήματος και Μαθηματικών (σχετική εκδήλωση θα γίνει τον Μάρτιο). «Η μαθηματική αποδεικτική λογική θέλει την απόδειξη αναντίρρητη», λέει ο Τεύκρος Μιχαηλίδης. «Για να την καταρρίψεις, πρέπει να αλλάξεις τις προϋποθέσεις. Ο Σέρλοκ Χολμς, όμως, με την απαγωγική μέθοδό του, βλέπει μια κόκκινη τρίχα και συμπεραίνει ότι ο δράστης είναι κοκκινομάλλης».
Και για μαθητές
Κάνει η μαθηματική λογοτεχνία και για μαθητές; «Έχουμε δεχτεί κριτική από καθηγητές της Μέσης Εκπαίδευσης επειδή τονίζουμε τη φιλοσοφική διάσταση των Μαθηματικών αποδυναμώνοντας, όπως πιστεύουν, το τεχνικό μέρος και αποπροσανατολίζοντας τους μαθητές», λένε οι δύο συγγραφείς, συνιδρυτές της ομάδας Θαλής και Φίλοι, με δίκτυο εκατοντάδων λεσχών ανάγνωσης σε σχολεία όλης της χώρας. «Είναι σαν να λέμε ότι μόνο όσοι θέλουν να γίνουν πιλότοι έχουν δικαίωμα να μαθαίνουν για αεροπλάνα», λέει ο Απόστολος Δοξιάδης. Από φέτος η ομάδα Θαλής και Φίλοι δημιουργούν λέσχες ανάγνωσης με θέματα όχι μόνο μαθηματικής λογοτεχνίας, αλλά και επιστημών, φιλοσοφίας, κλασικής λογοτεχνίας και οργανώνουν πέντε εκδηλώσεις στο Μουσείο Μπενάκη αρχής γενομένης από απόψε.
Πηγή: Τα Νέα

Διαφορές των Φύλων στα Μαθηματικά

Δεν ξέρω ποιες προτεραιότητες είχατε εσείς στα σχολειά σας, αλλά στα δικά μας δεν εθεωρείτο κάποιος καλός μαθητής αν δεν πρώτευε στα μαθηματικά. Οι καλοί βαθμοί στο μάθημα αυτό μπορούσαν να αντισταθμίσουν τυχόν ελλείψεις σε μαθήματα θεωρητικής κατεύθυνσης τα οποία στη συνείδηση των γονιών, και κατ’ επέκταση και των μαθητών ήταν μειωμένης σπουδαιότητας συγκρινόμενα με τα μαθηματικά, την άλγεβρα δηλαδή και τη γεωμετρία.
Η διάκριση επομένως στα θεωρητικά μαθήματα, αρχαία, λατινικά, έκθεση και γλώσσα, είχε αίγλη κατά τι μικρότερη απ’ ότι η διάκριση στα μαθηματικά. Όποιος δε διακρινόταν και στα δυο, τόσο το καλύτερο γι αυτόν, μιας και τότες είχε όλα τα προσόντα για να γίνει και σημαιοφόρος.
Τα πράγματα στην τάξη ήταν έτσι μοιρασμένα ώστε σε γενικές γραμμές τα μεν θεωρητικά μαθήματα να αποτελούν προνομιακό πεδίο των κοριτσιών, τα δε θετικά, των αγοριών. Δεν γνωρίζω ποιες ήταν οι συνθήκες εκείνες που έδωσαν στα μαθηματικά το συγκεκριμένο πρωτείο. Πιθανόν, κάποιοι να πρόκριναν ότι οι ανώτερες νοητικές ικανότητες αντανακλώνται πιστότερα στην καλή επίδοση στους αριθμούς, παρά στην κατοχή και καλή χρήση της γλώσσας.

Πάντως εμπειρικά και στατιστικά δεδομένα συγκλίνουν στο ότι η σχέση των γυναικών με τα μαθηματικά παραμένει εντελώς άνιση και διαχρονικά προβληματική. Γεγονός που μοιραία θέτει επιτακτικά ερωτήματα για τους παράγοντες εκείνους που συντελούν στον αποκλεισμό των γυναικών από χώρους σπουδών και καριέρας οι οποίοι είναι άμεσα συνδεδεμένοι με την μαθηματική επιστήμη. Οι παράγοντες αυτοί χοντρικά δεν μπορεί παρά να είναι δυο: Φύση ή Κοινωνία. Nature or Nurture? Είναι δηλαδή οι γυναίκες γενετικά προσχεδιασμένες ώστε να αδυνατούν να ανταποκριθούν στις ιδιαιτερότητες της αφηρημένης μαθηματικής σκέψης, ή είναι το κοινωνικό περιβάλλον και το παιδαγωγικό πλαίσιο εκείνα που τις κάνει να μειονεκτούν;
Όπως καταλαβαίνετε, πολλές ειδικότητες είναι μπλεγμένες στη διερεύνηση αυτού του τόσο πολύπλοκου, σύνθετου και αμφιλεγόμενου προβλήματος. Ψυχολόγοι, εξελικτικοί και γνωστικοί, βιολόγοι, νευροφυσιολόγοι που ασχολούνται με την ανατομία του εγκεφάλου, πειραματικοί και θεωρητικοί και μια αράδα από άλλες παρεμφερείς ειδικότητες.
Για να δώσω ένα παράδειγμα από τα καθ’ ημάς, σύμφωνα με την μελέτη της Άννας Χρονάκη, αναπληρώτριας καθηγήτριας στο Παιδαγωγικό Τμήμα Προσχολικής Εκπαίδευσης του Πανεπιστημίου Θεσσαλίας, που διεξήχθη στο πλαίσιο του έργου ΘΕΦΥΛΙΣ κατά το ακαδημαϊκό έτος 2003-4 στα τμήματα Μαθηματικών της χώρας μας, βρέθηκε ότι ταπερισσότερα μέλη ΔΕΠ ήταν άνδρες, με την κατά φύλο κατανομή διδασκόντων να είναι περισσότερο άνιση στις υψηλότερες βαθμίδες. Για παράδειγμα, στη βαθμίδα του καθηγητή 93,5% ήταν άνδρες και μόνο 6,5% γυναίκες, ενώ στη βαθμίδα του αναπληρωτή καθηγητή 87% ήταν άνδρες και 13% γυναίκες. Στις βαθμίδες του επίκουρου καθηγητή και του λέκτορα η άνιση κατανομή συνεχίζει, παρόλο που δίνεται η αίσθηση για μια μείωση των έντονων διαφορών. Συγκεκριμένα στη βαθμίδα του επίκουρου καθηγητή υπήρχαν 75,5% άνδρες έναντι 24,5% γυναίκες και στη βαθμίδα του λέκτορα 68% άνδρες έναντι 32% γυναίκες.
Σε διεθνές τώρα επίπεδο, η ίδια εργασία της κ. Χρονάκη μας πληροφορεί ότι για τη σχέση φύλου και επίδοσης στα σχολικά μαθηματικά έχουν διεξαχθεί τρεις μεγάλες μελέτες: η FirstΙnternational Mathematics Study το 1964 σε 10 χώρες, η Second International MathematicsStudy κατά τα έτη 1980-82 σε 15 χώρες, και η Third International Mathematics and ScienceStudy (TIMSS) ανάμεσα στα 1994-97, σε περισσότερες από 40. Ενώ λοιπόν στις δύο πρώτες γενιές μελετών τα αγόρια βρέθηκε να υπερτερούν των κοριτσιών στα tests, στη τελευταία φαίνεται τα κορίτσια να σημειώνουν ίδιες, αν όχι καλύτερες επιδόσεις από τα αγόρια. Ωστόσο, πρόσφατες αναλύσεις στο πρόγραμμα αξιολόγησης PISA 2003, καταδεικνύουν ότι οι έμφυλες διαφορές εξακολουθούν να υπάρχουν, παρόλο που δεν είναι πάντα στατιστικά σημαντικές. Με εξαίρεση την Ισλανδία, τα αγόρια μοιάζει να υπερέχουν συστηματικά έναντι των κοριτσιών τόσο σε διαφορετικές χώρες όσο και σε διαφορετικές περιοχές των μαθηματικών, καθ’ ότι κάθε μια από τις προηγούμενες μελέτες εστίασε και σε διαφορετικές δεξιότητες.
Τα τελευταία νέα από το μέτωπο της μελέτης των έμφυλων διαφορών στα μαθηματικά έρχονται από την μετα-ανάλυση των αποτελεσμάτων της TIMSS και PISA μαζί, από την Nicole Else-Quest και την ομάδα της στο Villanova University, PA, που περιελάμβαναν 493,465 μαθητές ηλικίας 14-16 από 69 χώρες.
Και τα νέα, κορίτσια, όπως μάς διαβεβαίωσε η προφεσόρισσα δεν ήταν καθόλου κακά για μάς! Σε σύγκριση με τ’ αγόρια δεν τα πάμε κι άσκημα, αν και σε μερικές χώρες τα πάμε καλύτερα απ’ ότι σε άλλες. Και μαντέψτε πού: εκεί όπου και οι διαφορές των φύλων σε κοινωνικό και οικονομικό επίπεδο είναι και οι μικρότερες. Παρ’ όλα όμως τα στερεότυπα που κι εδώ μας ακολουθούν, τα κορίτσια σκίζουμε!
Ζορίζοντας παραπάνω το πράγμα, η ομάδα έρευνας βρήκε ότι τα κορίτσια θα αναπτύξουν όλες τους τις μαθηματικές ικανότητες αν τους δοθούν τα κατάλληλα εκπαιδευτικά εργαλεία και τα κατάλληλα πρότυπα γυναικών που διέπρεψαν και διαπρέπουν στα μαθηματικά. Αν φυσικά τ’ ανακαλύψουν. Μια Υπατία δεν είναι από μόνη της αρκετή, ούτε και οι κάποιες λίγες άλλες που βιογραφούνται στο ωραίο βιβλίο «Το Παντελόνι του Πυθαγόρα».
Αλλά το πιο βασικό εύρημα της έρευνας είναι ότι εκεί που κυρίως την πατάνε είναι στο θέμα της αυτοπεποίθησης και των κινήτρων και όχι της βιολογικής κατασκευής. Δεν είναι δα και δύσκολο να διακρίνουμε πόσο, ακόμα και σήμερα, οι οικογένειες και τα σχολεία ποντάρουν στα αγόρια και πόσο λιγότερο στα καημένα τα κορίτσια. Δώστε λοιπόν αυτοπεποίθηση και κίνητρα στα κορίτσια και θα σαρώσουν!
Τα αποτελέσματα κι από μια άλλη πρόσφατη έρευνα από το Madison University έδειξαν επίσης προς την κατεύθυνση των κοινωνικών/πολιτισμικών αφετηριών ως υπευθύνων για την αποθάρρυνση των γυναικών. Οι απαντήσεις στα τρία ερωτήματα που τέθηκαν, όσον αφορά στην έμφυλη διαφορά στις μαθηματικές επιδόσεις 1) στο γενικό πληθυσμό και 2)ανάμεσα στους προικισμένους και 3) στο κατά πόσον υπάρχουν γυναίκες με ιδιαίτερες μαθηματικές ικανότητες, ήταν κατά σειρά ΟΧΙ, ΟΧΙ, ΝΑΙ.
Σήμερα στην Αμερική υπάρχουν τόσα κορίτσια όσα και αγόρια στην επιλογή των μαθηματικών στο σχολείο και οι επιδόσεις τους είναι παρόμοιες. Παρ’ όλα αυτά μόνο το 30% των διδακτορικών στα μαθηματικά απονέμονται σε γυναίκες. Πάλι καλά, αν σκεφτεί κανείς ότι μισό αιώνα πριν το ποσοστό αυτό ήταν γύρω στο 5%.
Φυσικά δε λείπουν και οι απόψεις που αποδίδουν γενετική βάση στη μαθηματικά ικανότητα. Με πρώτο και καλύτερο τον Larry Summers, τέως πρόεδρο του Harvard και νυν οικονομικό σύμβουλο του Obama, ο οποίος είχε αποδώσει, προφανώς πριν αναλάβει αυτό το πόστο, τις μαθηματικές ικανότητες των ανδρών στη μεγαλύτερη γενετική τους διαφοροποίηση. Σε αντίθεση με τους ισχυρισμούς του Summers, τα αποτελέσματα της ομάδας του Madisonέδειξαν ότι παρόμοια διαφοροποίηση υπήρχε στα tests τόσο των κοριτσιών όσο και των αγοριών.
Όποιος έχει όρεξη για περαιτέρω βόλτες στο διαδίκτυο μπορεί να ανακαλύψει πληθώρα μελετών για τη σχέση μαθηματικών επιδόσεων και κοινωνικών παραγόντων, παραγόντων που διαμορφώνουν την εικόνα που έχουν οι γυναίκες για τον εαυτό τους και οι άλλοι γιαυτές. Φυσικά, όσοι έχουν αντίθετη αλλά τεκμηριωμένη άποψη, ας κοπιάσουν να την καταθέσουν!
Πηγή: Ελευθεροτυπία

Το θεώρημα της πίτσας

Αν έχουν στραβοκόψει την πίτσα σας, πώς θα ξέρετε ποιος από τους συνδαιτυμόνες έχει φάει περισσότερο; Ενα τέτοιο πρόβλημα δεν απασχολεί μόνο τους πεινασμένους, αλλά και τους μαθηματικούς που διατύπωσαν- ύστερα από πολλές περιπέτειες- το περίφημο «θεώρημα της πίτσας»

ΤΟΥ STEPHEN ORNES

Για τους περισσότερους το μεσημεριανό γεύμα με έναν συνάδελφο είναι μια χαλαρή υπόθεση όπου οι προβληματισμοί εξαντλούνται στο ποιο πιάτο θα διαλέξουν και αν θα πάρουν γλυκό. Για τον Ρικ Μέιμπρικαι τονΠολ Ντάιερμαν όμως το ζήτημα δεν ήταν ποτέ τόσο απλό. Τους είναι αδύνατον, για παράδειγμα, να δουν στο τραπέζι τους μια πίτσα χωρίς να προσπαθήσουν να βρουν τη λύση στο μαθηματικό πρόβλημα του πώς να τη μοιράσουν. «Τρώγαμε μαζί τουλάχιστον μία φορά την εβδομάδα»λέει ο κ. Μέιμπρι αναφερόμενος στις αρχές της δεκαετίας του 1990, όταν οι δύο μαθηματικοί εργάζονταν στο Πολιτειακό Πανεπιστήμιο της Λουιζιάνας. «Ο ένας από τους δυο μας έφερνε ένα τετράδιο και αρχίζαμε να κάνουμε σχεδιαγράμματα αφήνοντας το φαγητό μας να κρυώνει».
Η σπαζοκεφαλιά
Το πρόβλημα που τους απασχολούσε ήταν το εξής: ας υποθέσουμε ότι στη βιασύνη του ο σερβιτόρος κόβει την πίτσα εκτός κέντρου, με όλες τις τομές να διασταυρώνονται σε ένα σημείο σχηματίζοντας ίσες γωνίες με τη γειτονική τους. Οι εκτός κέντρου τομές σημαίνουν ότι τα κομμάτια δεν θα έχουν το ίδιο μέγεθος. Επομένως δύο άτομα που παίρνουν εναλλάξ διαδοχικά κομμάτια, θα έχουν φάει ίσα μερίδια όταν τελειώσει η πίτσα και, αν όχι, ποιος θα έχει φάει περισσότερο;
Φυσικά, θα μπορούσε κανείς να λύνει κάθε φορά το συγκεκριμένο πρόβλημα υπολογίζοντας την επιφάνεια κάθε κομματιού και προσθέτοντας τα κομμάτια του καθενός μεταξύ τους. Οι δύο ερευνητές είναι όμως μαθηματικοί και δεν αρκούνται σε τέτοιου είδους λύσεις: ήθελαν μια θεωρητική κατασκευή χωρίς ακριβείς υπολογισμούς, έναν κανόνα που θα ισχύει πάντοτε και θα μπορεί να εφαρμόζεται για κάθε στρογγυλή πίτσα.

Οπως συμβαίνει με πολλές μαθηματικές σπαζοκεφαλιές, η απάντηση ήρθε σε στάδια- για διαφορετικές κάθε φορά πιθανές περιπτώσεις του προβλήματος. Η ευκολότερη προσφέρεται όταν τουλάχιστον μία τομή περνάει από το κέντρο της πίτσας: ένα γρήγορο σχήμα μπορεί να δείξει ότι στην περίπτωση αυτή τα αντιδιαμετρικά κομμάτια είναι συμπληρωματικά μεταξύ τους οπότε μοιράζονται ίσα ανάμεσα στους δύο συνδαιτυμόνες, ανεξάρτητα από το πόσες είναι οι τομές.
Η ευκολία των ζυγών
Τι γίνεται όμως όταν καμία τομή δεν περνάει από το κέντρο; Αν η πίτσα κόβεται μία φορά, η απάντηση είναι προφανής με το μάτι: όποιος τρώει το κέντρο τρώει περισσότερο. Αν γίνουν δύο τομές, που δίνουν τέσσερα κομμάτια, το αποτέλεσμα είναι το ίδιο: όποιος φάει το κομμάτι που περιλαμβάνει το κέντρο τρώει περισσότερη πίτσα. Οσο όμως οι τομές αυξάνονται, παρουσιάζονται διάφορες ανωμαλίες και η λύση τους οδήγησε, με τον χρόνο, στον σχηματισμό των τριών γενικών κανόνων που απαρτίζουν το θεώρημα της πίτσας.
Ο πρώτος ορίζει ότι αν η πίτσα κοπεί σε ένα δεδομένο σημείο με ζυγό αριθμό τομών μεγαλύτερο του 2, θα μοιραστεί ίσα ανάμεσα στους δύο συνδαιτυμόνες που παίρνουν εναλλάξ διαδοχικά κομμάτια. Προτάθηκε για πρώτη φορά για 4 τομές (8 κομμάτια) από κάποιονΛ. Τζ. Απτον το 1967 στο περιοδικό «Μathematics Μagazine», ενώ η λύση που όριζε ότι η πίτσα μοιράζεται ίσα για οποιονδήποτε αριθμό ζυγών τομών ήλθε έναν χρόνο αργότερα ως απάντηση στην «πρόκληση» του Απτον.
Ο σκόπελος των μονών
Με τους μονούς αριθμούς τομών όμως τα πράγματα περιπλέκονται.
Εδώ το θεώρημα της πίτσας λέει ότι αν κόψει κανείς την πίτσα με 3, 7, 11, 15... τομές χωρίς καμία τομή να περνάει από το κέντρο της, τότε αυτός που θα πάρει το κομμάτι που περιέχει το κέντρο της πίτσας θα φάει συνολικά περισσότερο. Αν όμως οι τομές είναι 5, 9, 13, 17... αυτός που θα πάρει το κομμάτι με το κέντρο καταλήγει να τρώει λιγότερο.

Το θεώρημα ισχύει αν κάνει κανείς τους υπολογισμούς, απέβη όμως εξαιρετικά δύσκολο να αποδειχθεί από τους μαθηματικούς. Τόσο δύσκολο ώστε οι κκ. Μέιμπρι και Ντάιερμαν μόλις τώρα κατόρθωσαν να ολοκληρώσουν μια απόδειξη η οποία καλύπτει όλες τις πιθανές περιπτώσεις.
Η προσπάθειά τους ξεκίνησε το 1994, όταν ο κ. Ντάιερμαν έδειξε στον κ. Μέιμπρι μια διορθωμένη εκδοχή του θεωρήματος της πίτσας που επανεμφανίστηκε στο «Μathematics Μagazine» προκαλώντας τους αναγνώστες να αποδείξουν δύο συγκεκριμένες περιπτώσεις του προβλήματος, αυτή στην οποία η πίτσα κόβεται με 3 τομές και αυτή στην οποία κόβεται με 5. Η «άσχημη» λύση
Ο κ. Ντάιερμαν έλυσε γρήγορα το πρόβλημα των 3 τομών, το οποίο οι συγγραφείς του άρθρου είχαν λύσει αλλά δεν αποκάλυπταν στο δημοσίευμα. Στη συνέχεια οι δύο συνεργάτες βρήκαν τη λύση για τις περιπτώσεις των 5 και των 7 τομών (οι οποίες έδιναν το ίδιο αποτέλεσμα με τις 3). Ενθουσιασμένοι με την επιτυχία τους, θεώρησαν ότι είχαν βρει την τεχνική που θα έλυνε πλήρως το πρόβλημα. Σε ένα μονό αριθμό τομών, τα αντιδιαμετρικά αντίθετα κομμάτια πηγαίνουν σε διαφορετικούς συνδαιτυμόνες, οπότε συγκρίνοντας κανείς τα μεγέθη τους μπορεί να βρει, για αυτά τα δύο, ποιος παίρνει περισσότερο και πόσο και στη συνέχεια να περάσει στο επόμενο αντιδιαμετρικά αντίθετο «ζευγάρι».
Παρ΄ ότι ακούγεται απλό, στην πράξη αποδείχθηκε σχεδόν αδύνατον να βρεθεί μια λύση που να καλύπτει όλους τους πιθανούς μονούς αριθμούς τομών. Οι δύο μαθηματικοί χρησιμοποίησαν ένα γεωμετρικό τέχνασμα για να απλοποιήσουν τη διαδικασία, εισάγοντας ένα παραλληλεπίπεδο που σχηματίζεται από κάθε τομή και μια παράλληλή της γραμμή η οποία περνάει από το κέντρο της πίτσας. Και πάλι όμως η λύση δεν ήταν ικανοποιητική εφόσον απαιτούσε πολύπλοκους υπολογισμούς. Ηταν, όπως λένε,«άσχημη» .
Ο παράγων «καθαρός αέρας»
Στα χρόνια που ακολούθησαν, ασχολήθηκαν κατά καιρούς και πάλι με το πρόβλημα, χωρίς όμως περαιτέρω επιτυχία. Η «φώτιση» ήρθε το 2006, όταν ο κ. Μέιμπρι βρισκόταν για διακοπές στη Γερμανία. «Ημουν σε ένα ωραίο ξενοδοχείο,με ευχάριστο,δροσερό περιβάλλον και χωρίς κομπιούτερ»λέει.«Αρχισα να σκέφτομαι ξανά το πρόβλημα και τότε όλα άρχισαν να λειτουργούν». Ως τότε οι δύο μαθηματικοί χρησιμοποιούσαν μοντέλα στον ηλεκτρονικό υπολογιστή για τα αποτελέσματά τους. Μόλις όμως ο κ. Μέιμπρι άφησε την τεχνολογία στην άκρη, μπόρεσε να δει το πρόβλημα καθαρά. Επιστρέφοντας έβαλε ξανά τον υπολογιστή να δουλέψει για να βρει όλες τις πληροφορίες που χρειάζονταν για να προχωρήσει τις σκέψεις του και τελικά όλα μπήκαν στη θέση τους. Η απόδειξη του θεωρήματος της πίτσας βρέθηκε, λοιπόν, επιτέλους και έχει δημοσιευθεί στην επιθεώρηση Αmerican Μathematical Μonthly (Μάιος 2009). Ποιες πρακτικές εφαρμογές μπορεί να έχει; Προς το παρόν δεν διαφαίνεται καμία, αυτό όμως δεν ανησυχεί τον κ. Μέιμπρι. «Το παράξενο με εμάς τους μαθηματικούς»λέει «είναι ότι συχνά δεν μας ενδιαφέρει αν τα αποτελέσματα έχουν εφαρμογές γιατί τα ίδια τα αποτελέσματα είναι τόσο όμορφα». Πολλές φορές ωστόσο η χρησιμότητα των λύσεων τέτοιου είδους αφηρημένων μαθηματικών προβλημάτων εμφανίζεται με απρόσμενους τρόπους: ένα ξεχασμένο μαθηματικό παράδοξο του 19ου αιώνα για ένα μορφοκλασματικό είδος καμπύλης επανήλθε στο προσκήνιο ως μοντέλο για το σχήμα του ανθρώπινου γονιδιώματος.

© 2009 Νew Scientist Μagazine, Reed Βusiness

Το «16» στα Μαθηματικά είναι ικανή και αναγκαία συνθήκη για την επιτυχία

Ακόμα και οι κατά τεκμήριο καλά προετοιμασμένοι υποψήφιοι της Θετικής Κατεύθυνσης τα βρίσκουν μπαστούνια με τα Μαθηματικά.

Άλλωστε τα Μαθηματικά από την εποχή των δεσμών «ταλαιπωρούσαν» τους υποψηφίους. Τότε, 6 ή 7 -ανάλογα με τη χρονιά- στους 10 υποψηφίους βρίσκονταν στον βυθό της βαθμολογίας. Τα τελευταία χρόνια οι υποψήφιοι της Θετικής Κατεύθυνσης σημειώνουν σχετικά καλές επιδόσεις που διαφοροποιούνται από χρονιά σε χρονιά ανάλογα με τον βαθμό ευκολίας/δυσκολίας των θεμάτων.
Τα ποσοστά «αριστούχων» (18-20) κυμαίνονται σε σχετικά χαμηλά επίπεδα. Το υψηλότερο σημειώθηκε το 2009 προσεγγίζοντας το 26,50% μετά το 22,68% του 2005, ενώ αντίθετα το 2008 καταγράφεται ένα από τα χαμηλότερα 9,37%. Το 15-17,9 είναι σχετικά δύσκολη υπόθεση, αφού το ποσοστό των υποψηφίων που βρίσκεται σε αυτήν τη βαθμολογική κλίμακα είναι μικρότερο του 20% τα τελευταία χρόνια.
Το 2008 ήταν μόλις 16,66% κι αυτό μαρτυρά συνθήκες εξεταστικής σφαγής, αλλά το 2009 πλησίασε το 47%! Ξεπερνώντας κάθε ιστορικό προηγούμενο. Περίπου 1 στους 3 υποψηφίους σταθερά από το 2001 μέχρι το 2007, αλλά και το 2009 βρίσκεται στο υπόγειο της βαθμολογίας, ενώ το ποσοστό του 2008 ξεπέρασε το 40%.
Με λίγα λόγια, το «άριστα» είναι πολύ δύσκολη υπόθεση ακόμα και για του άριστα προετοιμασμένους υποψηφίους. Η υπέρβαση του «16» είναι όρος εκ των ουκ άνευ για όσους υποψηφίους στοχεύουν στα υψηλόβαθμα τμήματα.

Αξεπέραστο εμπόδιο
Το υψηλότερο και ανυπέρβλητο εμπόδιο για τη συντριπτική πλειονότητα των υποψηφίων της Τεχνολογικής Κατεύθυνσης είναι τα Μαθηματικά. Εντυπωσιακό είναι ότι και την περίοδο των δεσμών (1995-2001) για την 4η Δέσμη και την περίοδο των Πανελλήνιων Εξετάσεων καταγράφονται υψηλότατα ποσοστά αποτυχίας που δείχνουν ότι κάτι σάπιο υπάρχει στο «βασίλειο» των εξετάσεων και του ελληνικού σχολείου.
Ποσοστά που συνηθέστατα υπερβαίνουν το 70% και ενίοτε το 80%. Με άλλα λόγια, σταθερά περισσότεροι από 7 στους 10 υποψηφίους -κάποτε και 8 στους 10- «βουλιάζουν» στον βυθό της βαθμολογίας (0-9,9). Η υπέρβαση του «15» είναι άπιαστο όνειρο για την πλειονότητα, αφού τα ποσοστά των «αριστούχων» κυμαίνονται από 1,32% έως 4,60% και όσων «σκαρφαλώνουν» στην κλίμακα 15-17,9 από 4% έως 8% περίπου.
Αυτό σημαίνει ότι οι υποψήφιοι της Θετικής Κατεύθυνσης που κατά κανόνα έχουν υψηλότερες επιδόσεις απ΄ αυτούς της Τεχνολογικής αποκτούν μεγάλο προβάδισμα όσον αφορά τα υψηλόβαθμα και περιζήτητα τμήματα.
Το 2007 σημειώθηκε το χαμηλότερο ποσοστό αποτυχίας (66,22%), ενώ το 2009 αυξήθηκε οριακά προσεγγίζοντας το 67,09%
Στο ανελέητο κυνήγι των μορίων, όπου μερικά μόρια παίζουν καθοριστικό ρόλο για την εισαγωγή των υποψηφίων στο τμήμα των πρώτων προτιμήσεών τους ή σ' ένα άλλο που λίγο τους ενδιαφέρει ή για την παραμονή τους ή όχι στον τόπο κατοικίας κάθε λεπτομέρεια έχει τη σημασία της. Ιδιαίτερη σημασία έχει, όχι μόνο η γνώση του τρόπου εξέτασης αλλά και μιας σειράς οδηγιών που η εφαρμογή τους μπορεί να δώσει στους υποψηφίους το «κάτι» ή και πολύ παραπάνω.
Πώς εξετάζεται
Στους μαθητές δίνονται τέσσερα (4) θέματα από την εξεταστέα ύλη, τα οποία μπορούν να αναλύονται σε υποερωτήματα, με τα οποία ελέγχεται η δυνατότητα αναπαραγωγής γνωστικών στοιχείων, η γνώση εννοιών και ορολογία και η ικανότητα εκτέλεσης γνωστών αλγορίθμων, η ικανότητα του μαθητή να αναλύει, να συνθέτει και να επεξεργάζεται δημιουργικά ένα δεδομένο υλικό, καθώς και η ικανότητα επιλογής και εφαρμογής κατάλληλης μεθόδου.
Τα τέσσερα θέματα που δίνονται στους μαθητές διαρθρώνονται ως εξής:
α. Το πρώτο θέμα αποτελείται από ερωτήματα θεωρίας που αφορούν έννοιες, ορισμούς, λήμματα, προτάσεις, θεωρήματα και πορίσματα. Με το θέμα αυτό ελέγχεται η κατανόηση των βασικών εννοιών, των σπουδαιότερων συμπερασμάτων, καθώς και η σημασία τους στην οργάνωση μιας λογικής δομής.
β. Το δεύτερο και το τρίτο θέμα αποτελείται το καθένα από μία άσκηση που απαιτεί από τον μαθητή ικανότητα συνδυασμού και σύνθεσης εννοιών αποδεικτικών ή υπολογιστικών διαδικασιών. Η κάθε άσκηση μπορεί να αναλύεται σε επιμέρους ερωτήματα.
γ. Το τέταρτο θέμα αποτελείται από μία άσκηση ή ένα πρόβλημα που η λύση του απαιτεί από τον μαθητή ικανότητες συνδυασμού και σύνθεσης προηγούμενων γνώσεων, αλλά και την ανάληψη πρωτοβουλιών στη διαδικασία επίλυσής του. Το θέμα αυτό μπορεί να αναλύεται σε επιμέρους ερωτήματα, τα οποία βοηθούν τον μαθητή στη λύση.
Η βαθμολογία κατανέμεται ανά 25 μονάδες στο καθένα από τα τέσσερα θέματα.
Έξι βασικοί κανόνες
Κωδικοποιούμε 6 βασικούς κανόνες που αν τους ακολουθήσουν κατά γράμμα οι καλά διαβασμένοι διαγωνιζόμενοι δεν πρόκειται να «χάσουν» καμία ερώτηση. Οι κανόνες αυτοί έχουν γενικότερη αξία και εφαρμογή και στην αντιμετώπιση των θεμάτων της Φυσικής.
1) Διαβάζουμε προσεκτικά τις εκφωνήσεις για να κατανοήσουμε τα δεδομένα και τα ζητούμενα. Αντίθετα, αποφεύγουμε τη βιαστική ανάγνωση που είναι πιθανό να μας οδηγήσει να ταυτίσουμε το ή τα θέματα με ερωτήματα που ήδη έχουμε μελετήσει. Ένα θέμα μπορεί να διατυπωθεί με πολλούς τρόπους και να απαιτεί διαφορετικές απαντήσεις.
2) Αρχίζουμε να απαντάμε από τα θέματα που μας φαίνονται πιο προσιτά και εύκολα. Αν κάποιο θέμα μας φαίνεται ιδιαίτερα δύσκολο, το αφήνουμε για αργότερα. Το ίδιο κάνουμε, αν δεν είμαστε απόλυτα σίγουροι για τις απαντήσεις μας.
3) Να μη χάνουμε πολύ χρόνο σε κάποια «δύσκολα» σημεία «κολλώντας» σε αυτά χωρίς να έχουμε υπολογίσει τον χρόνο για να απαντήσουμε στα υπόλοιπα θέματα και στο τέλος να επανέλθουμε στα σημεία που είχαμε «κολλήσει». Προσοχή, ώστε να μην αφήνουμε θέμα αναπάντητο. Ακόμα και σε ένα ερώτημα μιας άσκησης να γράψουμε έστω ένα τμήμα της λύσης.
4) Τα υποερωτήματα της άσκησης (3ου και 4ου θέματος) είναι συνήθως ισοδύναμα, συνεπώς το καθένα μπορεί να απαντηθεί χωρίς να απαιτείται η απάντηση του προηγούμενου ή του επόμενου. Τις περισσότερες φορές τα συμπεράσματα των πρώτων ερωτημάτων πρέπει να χρησιμοποιηθούν στα επόμενα.
5) Να μη βιαζόμαστε και εξαντλώντας τον χρόνο εξέτασης να αφιερώνουμε 15-20 λεπτά για να ελέγξουμε προσεκτικά το γραπτό μας και να διορθώσουμε τυχόν λάθη. Οφείλουμε να χρησιμοποιούμε τους μηχανισμούς επαλήθευσης σε κάθε άσκηση, περιορίζοντας έτσι την πιθανότητα λάθους.
6) Κατά τη βαθμολογία ενός προβλήματος ή μιας άσκησης πρέπει να λαμβάνονται υπόψη ως θετικά στοιχεία και τα εξής:
(α) Η ορθή αφετηρία και η μέχρις ενός σημείου (έστω και όχι μέχρι τέλους) ορθότητα στην επεξεργασία ή ορθότητα στην επεξεργασία μόνο σε ορισμένα σημεία που πάντως αποτελούν τμήμα μιας ορθής διαδικασίας επίλυσης του προβλήματος.
(β)Η σωστή αφετηρία μόνο όταν θα μπορούσε να οδηγήσει σε ορθό αποτέλεσμα. Η εκτίμηση φυσικά θα είναι ανάλογη.
(γ) Τα σωστά και πλήρη σχήματα που κρίνονται χρήσιμα για την ορθή επίλυση του προβλήματος.
(δ) Το αποτέλεσμα ενός προβλήματος ή μιας άσκησης δεν λαμβάνεται υπόψη, όταν δεν δικαιολογείται από την πορεία της επίλυσης που αναγράφεται στο γραπτό ή όταν το αποτέλεσμα αναγράφεται χωρίς να προηγείται επεξεργασία του προβλήματος.
(ε) Κατά τη βαθμολογία δεν λαμβάνεται υπόψη η προσπάθεια επίλυσης όταν έχει λανθασμένη αφετηρία και ακολουθεί εσφαλμένη πορεία.
Πηγή: ethnos.gr / ΓΙΩΡΓΟΣ Κ. ΚΑΒΒΑΔΙΑΣ